Question

已知函数f（x）=f′（1）e^x-1-f（0）x+

1

2

x²，其中e是自然对数的底数，f′（x）为f（x）的导函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函数g（x）=

1

2

x²+a与函数f（x）的图象在区间[-1，2]上恰有两个不同的交点，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,导数的运算

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由已知得f′（x）=f′（1）e^x-1-f（0）+x，令x=1，得f（0）=1．又f（0）=

f′(1)

e

，由此能求出f（x）=e^x-x+

1

2

x2．
（Ⅱ）由f（x）=g（x）得a=e^x-x．构造函数h（x）=e^x-x，则h′（x）=e^x-1，由此利用导数性质能求出两个图象恰有两个不同的交点时，实数a的取值范围是（1，1+

1

e

]．

解答： 解：（Ⅰ）由已知得f′（x）=f′（1）e^x-1-f（0）+x，
令x=1，得f′（1）=f′（1）-f（0）+1，
即f（0）=1．…（2分）
又f（0）=

f′(1)

e

，所以f′（1）=e．
从而f（x）=e^x-x+

1

2

x2．…（4分）
（Ⅱ）由f（x）=g（x）得a=e^x-x．
令h（x）=e^x-x，则h′（x）=e^x-1．…（6分）
由h′（x）=0，得x=0．
所以当x∈（-1，0）时，h′（x）＜0；
当x∈（0，2）时，h′（x）＞0．
∴h（x）在（-1，0）上单调递减，
在（0，2）上单调递增．…（8分）
又h（0）=1，h（-1）=1+

1

e

，h（2）=e²-2，
且h（-1）＜h（2）．…（10分）
∴两个图象恰有两个不同的交点时，实数a的取值范围是（1，1+

1

e

]．…（12分）

点评：本题主要考查函数与导数等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想等．