Question

已知函数f（x）=x²•e^ax（x∈R），其中a∈R．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间与极值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：分类讨论,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）a=1时，求出f（x）在x=1时的导数值，得出切线的斜率，由点斜式写出切线方程；
（Ⅱ）讨论a=0、a＞0和a＜0时，当x变化时，f′（x）与f（x）的变化情况，求出函数f（x）的单调区间与极值．

解答： 解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x²•e^x，
f′（x）=（x²+2x）e^x；
∴f′（1）=3e，
又当x=1时，f（x）=f（1）=e；
∴切线方程为y-e=3e（x-1），
即y=f（x）在点（1，e）处的切线方程为
y=3ex-2e；
（Ⅱ）∵f′（x）=2xe^ax+ax²•e^ax
=（2x+ax²）e^ax，
∴①当a=0时，f′（x）=2x，
当x＞0时，f′（x）＞0，f（x）是增函数；
当x＜0时，f′（x）＜0，f（x）是减函数；
∴当a=0时，f（x）在区间（-∞，0）上是减函数，（0，+∞）上是增函数；
函数f（x）在x=0处取得极小值f（0），且f（0）=0；
②当a＞0时，2x+ax²=0，
解得x=-

2

a

，或x=0；
当x变化时，f′（x）与f（x）的变化情况如下表；

∴当a＞0时，f（x）在区间（-∞，-

2

a

）上是增函数，在区间（-

2

a

，0）上是减函数，在区间（0，+∞）上是增函数；
∴函数f（x）在x=-

2

a

处取得极大值f（-

2

a

），且f（-

2

a

）=

x2

e2

=

4

a2e2

；
③当a＜0时，2x+ax²=0，
解得x=0，或x=-

2

a

；
当x变化时，f′（x）与f（x）的变化情况如下表；

∴当a＜0时，函数f（x）在区间（-∞，0）上是减函数，在区间（0，-

2

a

）上是增函数，在区间（-

2

a

，+∞）上是减函数；
∴f（x）在x=0处取得极小值f（0），且f（0）=0；
f（x）在x=-

2

a

处取得极大值f（-

2

a

），且f（-

2

a

）=

x2

e2

=

4

a2e2

．

点评：本题考查了利用导数求函数在某一点处的切线方程以及利用导数来研究函数的单调性与极值的问题，也考查了分类讨论思想，是综合题．