Question

已知函数f（x）=lnx+

a

x

，g（x）=f（x）-ax+4lnx．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）设函数h（x）=x²-mx+4，当f（x）在x=2处取得极值时，对任意x₁∈[1，2]，总存在x₂∈（1，3），使得h（x₁）≤g（x₂）成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）利用导数的运算法则可得f′（x），再对a分类讨论即可得出；
（2）对任意x₁∈[1，2]，总存在x₂∈（1，3），使得h（x₁）≤g（x₂）成立?g（x）_max≥h（x）_max．而h（x）在x∈[1，2]上的最大值为max{h（1），h（2）}，利用导数可得g（x）_max=g（2），解出即可．

解答： 解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=

1

x

-

a

x2

=

x-a

x2

．
①当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增．
②当a＞0时，由f′（x）＞0得x＞a，由f′（x）＜0得x＜a．
即f（x）在（a，+∞）上单调递增，（0，a）上单调递减． 
（2）由（1）知：f′（x）=

x-a

x2

，
又f（x）在x=2处取得极值，
∴f′（2）=0，即a=2． 
经检验知，a=2时，f（x）在x=2处取得极值．
则g(x)=f(x)-ax+4lnx=5lnx-2x+

2

x

，
g′(x)=

5

x

-2-

2

x2

=-

(2x-1)(x-2)

x2

．
令g′（x）=0得x=

1

2

或x=2，
当x∈(0，

1

2

)∪（2，+∞）时，g′（x）＜0；当x∈(

1

2

，2)时，g′（x）＞0．
则当x∈（1，3）时，g（x）_max=g（2）=-3+5ln2．
对任意x₁∈[1，2]，总存在x₂∈（1，3），使得h（x₁）≤g（x₂）成立?g（x）_max≥h（x）_max．
而h（x）在x∈[1，2]上的最大值为max{h（1），h（2）}，
则

g(2)≥h(1) g(2)≥h(2)

，即

-3+5ln2≥5-m -3+5ln2≥8-2m

，解得m≥8-5ln2．．
综上述：满足条件的m的取值范围为m≥8-5ln2．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．