Question

设{a_n}是等差数列，a₁=1，公差d=2，{b_n}是各项都为正数的等比数列，且b₁=1，a₃+b₅=21．
（1）求{b_n}的通项公式；
（2）求数列{

an

bn

}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）设{b_n}的公比为q，根据等比数列和等差数列的通项公式，联立方程求得d和q，进而可得{b_n}的通项公式．
（2）根据{a_n}是等差数列，a₁=1，公差d=2，求{a_n}的通项公式，数列{

an

bn

}的通项公式由等差和等比数列构成，进而可用错位相减法求得前n项和S_n．

解答： 解：（1）设{b_n}的公比为q，则依题意有q＞0且

1+2d+q4=21 1+4d+q2=13

解得d=2，q=2．
∴b_n=q^n-1=2^n-1．
（2）∵{a_n}是等差数列，a₁=1，公差d=2，∴a_n=1+（n-1）d=2n-1，

an

bn

=

2n-1

2n-1

，
∴S_n=1+

3

2

+

5

22

+…+

2n-1

2n-1

，①
2S_n=2+3+

5

2

+…+

2n-1

2n-2

，②
②-①得S_n=2+2+

2

2

+…+

2

2n-2

-

2n-1

2n-2

=6-

2n+3

2n-1

．

点评：本题主要考查了利用基本量表示等差数列及等 数列的通项公式，错位相减求数列的和是数列求和方法中的重点和难点．