Question

已知函数f（x）=lnx+x²+mx．
（Ⅰ）当m=-3时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）若函数f（x）在定义域内为增函数，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的概念及应用

分析：（Ⅰ）确定函数f（x）的定义域为（0，+∞），求导函数，确定函数的单调性，从而可求函数的极小值；
（Ⅱ）求导函数，函数f（x）在定义域内为增函数，转化为2x²-mx+1≥0在（0，+∞）上恒成立，分离参数，利用基本不等式求最值，即可求实数m的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)=

1

x

+2x+m，
m=-3时，f′(x)=

2x2-3x+1

x

=

(2x-1)(x-1)

x

=0，得x=

1

2

或x=1．
f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：

x	(0， 1 2 )	1 2	( 1 2 ，1)	1	（1，+∞）
f'（x）	+		-		+
f（x）	增		减		增

f(x)极大值=f(

1

2

)=-ln2-

5

4

，f（x）_极小值=f（1）=-2．
（Ⅱ）函数f（x）在定义域内为增函数，
∴x＞0时，f，（x）=

1

x

+2x+m≥0恒成立，
∴m≥-（

1

x

+2x）（其中x＞0）恒成立；
∵x＞0，∴

1

x

+2x≥2

2

（当且仅当x=

2

2

时取等号），
∴-（

1

x

+2x）_max=-2

2

，
∴m≥-2

2

．

点评：本题考查了利用导数求函数的极值，函数与不等式的应用，属于中档题．