Question

设函数f(x)=

21-x-a， x≤0 f(x-1)， x＞0

，若f（x）=x有且仅有两个实数根，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：由函数解析式知，当x＞0时，f（x）是周期为1的函数，易求x＜1，f（x）=2^2-x-a，依题意，得方程2^2-x=x+a有且仅有两解，在同一坐标系中作出y=2^2-x与y=x+a图象，数形结合即可求得实数a的取值范围．

解答： 解：∵x＞0时，f（x）=f（x-1）
∴当x＞0时，f（x）是周期为1的函数，
设x＜1，则x-1＜0，
f（x）=f（x-1）=2^1-（1-x）-a=2^2-x-a；
即x＜1，f（x）=2^2-x-a，
∵f（x）=x有且仅有两个实数根，∴方程2^2-x=x+a有且仅有两解，在同一坐标系中作出y=2^2-x与y=x+a图象如下图：

∴f（x）=x有且仅有两个实数根，只要直线y=x+a介于图中两直线之间即可．
依f（x）=2^2-x可求出A点坐标为（0，4），B点坐标为（1，4），
∵A，B两点均为虚点，
∴3≤a＜4．
故答案为[3，4）．

点评：本题考查根的存在性及根的个数判断，着重考查函数的周期性的应用，作图是关键，也是难点，考查等价转化思想与数形结合思想的综合应用，属于难题．