Question

设函数f（x）=

ex-1

x

．
（1）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性；
（2）证明：对任意正数a，存在正数x，使不等式f（x）-1＜a成立．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）由题意知：f′（x）=

xex-(ex-1)

x2

=

(x-1)ex+1

x2

，构造函数h（x）=（x-1）e^x+1，由此利用导数性质能推导出f（x）在（0，+∞）上是单调增函数．
（2）不等式f（x）-1＜a可化为e^x-（a+1）x-1＜0，令G（x）=e^x-（a+1）x-1，得G′（x）=e^x-（a+1），由此利用导数性质能证明存在正数x=ln（a+1），使不等式F（x）-1＜a成立．

解答： （1）解：由题意知：f′（x）=

xex-(ex-1)

x2

=

(x-1)ex+1

x2

，
令h（x）=（x-1）e^x+1，则h′（x）=x e^x＞0，
∴h（x）在（0，+∞）上是增函数，又h（0）=0，
∴h（x）＞0，则f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上是单调增函数．
（2）证明：f（x）-1=

ex-x-1

x

，
不等式f（x）-1＜a可化为e^x-（a+1）x-1＜0，
令G（x）=e^x-（a+1）x-1，得G′（x）=e^x-（a+1），
由G′（x）=0得：x=ln（a+1），
当0＜x＜（ln（a+1）时，
G′（x）＜0，当x＞ln（a+1）时，G′（x）＞0，
∴当x=ln（a+1）时，G（x）_min=a-（a+1）ln（a+1），
令ϕ（a）=

a

a+1

-ln（a+1），（a≥0），
ϕ′（a）=

1

(a+1)2

-

1

a+1

=-

a

(a+1)2

＜0，
又ϕ（0）=0，∴当a＞0时，ϕ（a）＜ϕ（0）=0，
即当x=ln（a+1）时，G（x）_min=a-（a+1）ln（a+1）＜0．
故存在正数x=ln（a+1），使不等式F（x）-1＜a成立．

点评：本题考查函数的单调性的判断，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．