Question

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx+d为奇函数，且在x=-1处取得极大值2．
（Ⅰ）求f（x）解析式；
（Ⅱ）过点A（1，t）（t≠-2）可作函数f（x）象的三条切线，求实数t的取值范围；
（Ⅲ）若f（x）+（m+2）x≤x²（e^x-1）对于任意的x∈[0，+∞）恒成立，求实数m取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由已知得f′（x）=3ax²+c，

f′(-1)=3a+c=0 f(-1)=-a-c=0

，由此能求出f（x）解析式．
（Ⅱ）设切点为（x₁，y₁），则

y1=x12-3x1  y1-t x1-1 =3x12-3

，消去y₁得t=-2x₁³+3x₁²-3，设h（x）=-2x³+3x²-3，由此利用导数性质能求出实数t的取值范围）．
（Ⅲ）由已知得x³-3x+（m+2）x≤x²（e^x-1），（m+2）x≤x²（e^x-1）-x³+3x，由此利用构造法和导数性质能求出实数m的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=ax³+bx²+cx+d为奇函数，
∴b=d=0，∴f′（x）=3ax²+c，
∵f（x）在x=-1处取得极大值2，
∴

f′(-1)=3a+c=0 f(-1)=-a-c=0

，解得a=1，c=-3，
∴f（x）解析式为f（x）=x³-3x．
（Ⅱ）设切点为（x₁，y₁），则

y1=x12-3x1  y1-t x1-1 =3x12-3

，
消去y₁得t=-2x₁³+3x₁²-3，
设h（x）=-2x³+3x²-3，则h′（x）=-6x²+6x=-6x（x-1），
由h′（x）＞0，得0＜x＜1，由h′（x）＜0，得x＜0或x＞1，
∴h（x）在（-∞，0），（1，+∞）递减，（0，1）递增，
∴h（x）_极小值=h（0）=-3，h（x）_极大值=h（1）=-2，
要使过点A（1，t）可作函数y=f（x）图象的三条切线，
则实数t的取值范围为（-3，-2）．
（Ⅲ）∵f（x）+（m+2）x≤x²（e²-1），
∴x³-3x+（m+2）x≤x²（e^x-1），
从而（m+2）x≤x²（e^x-1）-x³+3x，
当x=0时，m∈R，
当x＞0时，∴m+2≤xe^x-x-x²+3，∴m≤x（e^x-x-1）+1，
设t（x）=e^x-x-1，则t′（x）=e^x-1＞0，
∴t（x）在（0，+∞）递增，t（x）＞t（0）=0，
∴g（x）=x（e^x-x-1）+1＞1，
从而m≤1，
∴实数m的取值范围为（-∞，1]．

点评：本题考查函数的解析式的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意构造法和导数性质的合理运用．