Question

z为复数，（1+i）z为纯虚数，若|

z

2+i

|=

2

5

，则z=

±

2

(1+i)

．

Answer 1

分析：先设出z的代数形式，代入（1+i）z进行化简，再由纯虚数的定义列出方程，得出a和b关系，再代入

z

2+i

进行化简，需要分子和分母同乘以2-i，再由它的模进行求值．

解答：解：设z=a+bi（a，b∈R），∴（1+i）z=a-b+（a+b）i，
∵（1+i）z为纯虚数，∴

a-b=0 a+b≠0

，即a=b≠0，
∵

z

2+i

=

a+ai

2+i

=

a(1+i)(2-i)

(2+i)(2-i)

=

a(3+i)

5

，且|

z

2+i

|=

2

5

，
∴

9a2

25

+

a2

25

=

4

5

，解得a=±

2

，∴z=±

2

(1+i)，
故答案为：±

2

(1+i)．

点评：本题考查了复数的乘法运算，以及纯虚数的条件和复数模的公式，对于两个复数相除时，需要分子和分母同时除以分母的共轭复数，考查了计算能力．