Question

如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，以AC为轴翻折半平面，使二平面角B—AC—D为120°，求：(1)翻折后，D到平面ABC的距离；(2)BD和AC所成的角.

Answer 1

解析:

研究翻折问题，通常要画出翻折前的平面图形和翻折后的空间图形，对应点的字母要相同.

解  分别过B、D作AC的垂线，垂足是E、F，过F作FB′∥BE，过B作BB′∥AC，交点B′，则四边形EFB′B是矩形.

∵AC⊥DF，AC⊥B′F，∴AC⊥平面B′FD，即∠DF′B就是二面角B—AC—D的平面角，亦即∠DFB′＝120°.

过D作DO⊥B′F，垂足为O.∵DO平面DFB′，AC⊥平面DFB′.∴DO⊥AF，DO⊥平面ABC.

在RtΔADC中，CD＝2，AD＝2，∴DF＝，OD＝DF·sin60°＝.

(2)在ΔDFB′中，DB′＝＝3.

又由(1)可知，AC∥BB′，AC⊥平面DFB′⊥平面DFB′.∴BB′⊥平面DFB′，∴ΔDB     B′是直角三角形，又BB′＝EF＝2.∴tan∠DBB′＝.

∵AC∥BB′,∴AC与BD所成的角就是∠DBB′，即为arctan.

说明  处理翻折问题，只要过不在棱上的点作棱的垂直相交的线段，就可以化成基本题型处理，本题也可以这样考虑，即利用异面直线DF、BE上两点B、D间的距离，先求出BD²＝EF²+DF²+BE²-2DF·BE·cos120°＝13，从而得出∠DBB′＝arccos.