【题目】已知抛物线,
为抛物线
上的点,若直线
经过点
且斜率为
,则称直线
为点
的“特征直线”.设
、
为方程
(
)的两个实根,记
.
(1)求点的“特征直线”
的方程;
(2)已知点在抛物线
上,点
的“特征直线”与双曲线
经过二、四象限的渐进线垂直,且与
轴的交于点
,点
为线段
上的点.求证:
;
(3)已知、
是抛物线
上异于原点的两个不同的点,点
、
的“特征直线”分别为
、
,直线
、
相交于点
,且与
轴分别交于点
、
.求证:点
在线段
上的充要条件为
(其中
为点
的横坐标).
【答案】(1)(2)证明见解析(3)证明见解析
【解析】
(1)计算的斜率为1,再计算直线方程得到答案.
(2)根据与渐近线垂直得到,线段
的方程为
,得到
,代入方程得到
,
,计算得到
.
(3))设,
,得到
所对应的方程为:
计算得到
,分别证明充分性和必要性得到答案.
(1)由题意的斜率为1,所以点
的“特征直线”
的方程为
.
(2)设点,由于双曲线
所求渐进线的斜率为
所以,进而得
,线段
的方程为
所以满足
所对应方程为:
,解得
,
因为,所以
,进而
(3)设,
,
则、
的方程分别为
,
,
解、
交点可得
,
,
所对应的方程为:
,
必要性:因为点在线段
上
当时,
,得
,
当时,
,得
,
所以,进而
①充分性:由,得
,
当时,
,得
,
当时,得
,得
,
所以点在线段
上.
综上所述:点在线段
上的充要条件为
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【题目】已知曲线,直线
经过点
与
相交于
、
两点.
(1)若且
,求证:
必为
的焦点;
(2)设,若点
在
上,且
的最大值为
,求
的值;
(3)设为坐标原点,若
,直线
的一个法向量为
,求
面积的最大值.
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【题目】已知曲线,
,则下面结论正确的是( )
A.把上各点的横坐标缩短到原来的
倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移
个单位长度,得到曲线
B.把上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移
个单位长度,得到曲线
C.把上各点的横坐标缩短到原来的
倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移
个单位长度,得到曲线
D.把上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移
个单位长度,得到曲线
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【题目】如图:在四棱锥中,
平面
,底面
是正方形,
.
(1)求异面直线与
所成角的大小(结果用反三角函数值表示);
(2)求点、
分别是棱
和
的中点,求证:
平面
.
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【题目】某种游戏中,黑、黄两个“电子狗”从棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A出发沿棱向前爬行,每爬完一条棱称为“爬完一段”.黑“电子狗”爬行的路线是AA1→A1D1→ ,黄“电子狗”爬行的路线是AB→BB1→ ,它们都遵循如下规则:所爬行的第i+2段与第i段所在直线必须是异面直线(其中i是正整数).设黑“电子狗”爬完2015段、黄“电子狗”爬完2014段后各自停止在正方体的某个顶点处,这时黑、黄“电子狗”间的距离是 .
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【题目】 已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|.
(1)当a=-3时,求不等式f(x)≥3的解集;
(2)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求a的取值范围.
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【题目】在一个有穷数列每相邻两项之间添加一项,使其等于两相邻项的和,我们把这样的操作叫做该数列的一次“H扩展”. 已知数列1,2. 第一次“H扩展”后得到1,3,2;第二次“H扩展”后得到1,4,3,5,2; 那么第10次“H扩展”后得到的数列的所有项的和为( )
A.88572B.88575C.29523D.29526
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【题目】设椭圆:
(
)的右焦点为
,短轴的一个端点
到
的距离等于焦距.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设、
是四条直线
,
所围成的矩形在第一、第二象限的两个顶点,
是椭圆
上任意一点,若
,求证:
为定值;
(3)过点的直线
与椭圆
交于不同的两点
、
,且满足△
与△
的面积的比值为
,求直线
的方程.
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