【题目】设椭圆:
(
)的右焦点为
,短轴的一个端点
到
的距离等于焦距.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设、
是四条直线
,
所围成的矩形在第一、第二象限的两个顶点,
是椭圆
上任意一点,若
,求证:
为定值;
(3)过点的直线
与椭圆
交于不同的两点
、
,且满足△
与△
的面积的比值为
,求直线
的方程.
【答案】(1)(2)证明见解析(3)
【解析】
(1)根据椭圆焦点坐标求得,根据短轴端点到焦点的距离求得
,由此求得
,进而求得椭圆的标准方程.
(2)求得的坐标,设出
点坐标
,结合向量的坐标运算,由
求得
,也即求得
点坐标,将其代入椭圆,化简后证得
为定值.
(3)将三角形和三角形
的面积的比值,转化为边长的比值,即
.当直线
斜率不存在时,根据椭圆的对称性可知
,不符合题意.当直线
的斜率不存在时,设出直线
的方程
.代入椭圆方程,化简后写出韦达定理.由
,求得
,代入韦达定理,由此解方程求得
的值,进而求得直线
的方程.
(1)由已知,,
又,故
,
所以,,所以,椭圆
的标准方程为
.
(2),
,
设,则
,
由已知,即
,
所以 ,所以
,化简得
为定值.
(3)等价于
,
当直线的斜率不存在时,
,不合题意.
故直线的斜率存在,设
:
,
由消去
,得
,
设,
,则
①,
②,
由,得
,
,将其代入①②,得
③,
④.将③代入④,化简得
,解得
.
所以,直线的方程为
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数f(x),g(x)满足关系g(x)=f(x)f(x+α),其中α是常数.
(1)设f(x)=cosx+sinx,,求g(x)的解析式;
(2)设计一个函数f(x)及一个α的值,使得;
(3)当f(x)=|sinx|+cosx,时,存在x1,x2∈R,对任意x∈R,g(x1)≤g(x)≤g(x2)恒成立,求|x1-x2|的最小值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知抛物线,
为抛物线
上的点,若直线
经过点
且斜率为
,则称直线
为点
的“特征直线”.设
、
为方程
(
)的两个实根,记
.
(1)求点的“特征直线”
的方程;
(2)已知点在抛物线
上,点
的“特征直线”与双曲线
经过二、四象限的渐进线垂直,且与
轴的交于点
,点
为线段
上的点.求证:
;
(3)已知、
是抛物线
上异于原点的两个不同的点,点
、
的“特征直线”分别为
、
,直线
、
相交于点
,且与
轴分别交于点
、
.求证:点
在线段
上的充要条件为
(其中
为点
的横坐标).
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】棋盘上标有第、
、
、
、
站,棋子开始位于第
站,棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏,若掷出正面,棋子向前跳出一站;若掷出反面,棋子向前跳出两站,直到调到第
站或第
站时,游戏结束.设棋子位于第
站的概率为
.
(1)当游戏开始时,若抛掷均匀硬币次后,求棋手所走步数之和
的分布列与数学期望;
(2)证明:;
(3)求、
的值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】给出定理:在圆锥曲线中,是抛物线
的一条弦,
是
的中点,过点
且平行于
轴的直线与抛物线的交点为
.若
两点纵坐标之差的绝对值
,则
的面积
,试运用上述定理求解以下各题:
(1)若,
所在直线的方程为
,
是
的中点,过
且平行于
轴的直线与抛物线
的交点为
,求
;
(2)已知是抛物线
的一条弦,
是
的中点,过点
且平行于
轴的直线与抛物线的交点为
,
分别为
和
的中点,过
且平行于
轴的直线与抛物线
分别交于点
,若
两点纵坐标之差的绝对值
,求
和
;
(3)请你在上述问题的启发下,设计一种方法求抛物线:与弦
围成成的“弓形”的面积,并求出相应面积.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆的离心率为
,
,
分别是椭圆的左右焦点,过点
的直线交椭圆于
,
两点,且
的周长为12.
(Ⅰ)求椭圆的方程
(Ⅱ)过点作斜率为
的直线
与椭圆
交于两点
,
,试判断在
轴上是否存在点
,使得
是以
为底边的等腰三角形若存在,求点
横坐标的取值范围,若不存在,请说明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某企业参加项目生产的工人为
人,平均每人每年创造利润
万元.根据现实的需要,从
项目中调出
人参与
项目的售后服务工作,每人每年可以创造利润
万元(
),
项目余下的工人每人每年创造利图需要提高
(1)若要保证项目余下的工人创造的年总利润不低于原来
名工人创造的年总利润,则最多调出多少人参加
项目从事售后服务工作?
(2)在(1)的条件下,当从项目调出的人数不能超过总人数的
时,才能使得
项目中留岗工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润,求实数
的取值范围.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数的图象过点
和点
.
(1)求函数的最大值与最小值;
(2)将函数的图象向左平移
个单位后,得到函数
的图象;已知点
,若函数
的图象上存在点
,使得
,求函数
图象的对称中心.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如果实系数、
、
和
、
、
都是非零常数.
(1)设不等式和
的解集分别是
、
,试问
是
的什么条件?并说明理由.
(2)在实数集中,方程和
的解集分别为
和
,试问
是
的什么条件?并说明理由.
(3)在复数集中,方程和
的解集分别为
和
,证明:
是
的充要条件.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com