【题目】如果实系数、
、
和
、
、
都是非零常数.
(1)设不等式和
的解集分别是
、
,试问
是
的什么条件?并说明理由.
(2)在实数集中,方程和
的解集分别为
和
,试问
是
的什么条件?并说明理由.
(3)在复数集中,方程和
的解集分别为
和
,证明:
是
的充要条件.
【答案】(1)既不充分也不必要条件;(2)充分不必要条件;(3)充见解析.
【解析】
(1)通过举反例判断出推不出
,反之
也推不出
,根据充要条件的有关定义得出结论.
(2)通过举反例判断出,推不出两个方程的系数之间的关系,反之当两个方程的系数对应成比例,两个方程式是同解方程,利用充要条件的有关定义得到结论.
(3)两个方程的系数对应成比例,所以两个方程是同解方程,充分性得证,由韦达定理可以证明必要性.
(1)若,
,则
,
若,则两个不等式的系数之间没有关系.
是
的既不充分也不必要条件.
(2)若,则两个方程的系数之间没有关系.
由于两个方程的系数对应成比例,所以两个方程式同解方程.
是
的充分不必要条件.
(3)是
的充要条件,
由于两个方程的系数对应成比例,所以两个方程是同解方程.充分性得证.
当时,由韦达定理可得
,
,即
,
,
从而可得,即必要性成立.
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【题目】设椭圆:
(
)的右焦点为
,短轴的一个端点
到
的距离等于焦距.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设、
是四条直线
,
所围成的矩形在第一、第二象限的两个顶点,
是椭圆
上任意一点,若
,求证:
为定值;
(3)过点的直线
与椭圆
交于不同的两点
、
,且满足△
与△
的面积的比值为
,求直线
的方程.
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【题目】如图,某污水处理厂要在一个矩形污水处理池(ABCD)的池底水平铺设污水净化管道(管道构成Rt△FHE,H是直角项点)来处理污水.管道越长,污水净化效果越好.设计要求管道的接口H是AB的中点,E,F分别落在线段BC,AD上.已知AB=20米,AD=米,记∠BHE=
.
(1)试将污水净化管道的长度L表示为的函数,并写出定义域;
(2)当取何值时,污水净化效果最好?并求出此时管道的长度L.
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【题目】已知椭圆:
的右焦点与短轴两端点构成一个面积为
的等腰直角三角形,
为坐标原点.
(1)求椭圆的方程;
(2)设点在椭圆
上,点
在直线
上,且
,求证:
为定值;
(3)设点在椭圆
上运动,
,且点
到直线
的距离为常数
,求动点
的轨迹方程.
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【题目】已知椭圆E的长轴长与焦距比为2:1,左焦点F(﹣2,0),一定点为P(﹣8,0).
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)过P的直线与椭圆交于P1、P2两点,设直线P1F、P2F的斜率分别为k1、k2,求证:k1+k2=0.
(3)求△P1P2F面积的最大值.
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【题目】如图所示,在长方体中,AD=2,AB=AE=1,M为矩形AEHD内的一点,如果∠MGF=∠MGH,MG和平面EFG所成角的正切值为
那么点M到平面EFGH的距离是_____.
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