【题目】已知椭圆
：
的右焦点与短轴两端点构成一个面积为
的等腰直角三角形，
为坐标原点．
（1）求椭圆的方程；
（2）设点
在椭圆上，点
在直线
上，且
，求证：
为定值；
（3）设点
在椭圆上运动，
，且点到直线
的距离为常数
，求动点
的轨迹方程．
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【题目】给出定理：在圆锥曲线中，
是抛物线
的一条弦，
是的中点，过点且平行于
轴的直线与抛物线的交点为
.若
两点纵坐标之差的绝对值
，则
的面积
，试运用上述定理求解以下各题：
（1）若
，所在直线的方程为
，是的中点，过且平行于轴的直线与抛物线
的交点为，求
；
（2）已知是抛物线的一条弦，是的中点，过点且平行于轴的直线与抛物线的交点为，
分别为
和
的中点，过且平行于轴的直线与抛物线分别交于点
，若两点纵坐标之差的绝对值，求
和
；
（3）请你在上述问题的启发下，设计一种方法求抛物线：
与弦围成成的“弓形”的面积，并求出相应面积.
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【题目】定义域是
上的连续函数
图像的两个端点为
、
，
是图像上任意一点，过点
作垂直于
轴的直线
交线段
于点
（点与点可以重合），我们称
的最大值为该函数的“曲径”，下列定义域是
上的函数中，曲径最小的是（ ）
A.
B.
C.
D.
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【题目】如图，在正方体
中，点
在线段
上移动，有下列判断：①平面
平面
；②平面
平面；③三棱锥
的体积不变；④
平面．其中，正确的是______．（把所有正确的判断的序号都填上）
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【题目】定义在
上的函数
，如果对任意
，恒有
成立，则称为
阶缩放函数．
（1）已知函数为二阶缩放函数，且当
时，
，求
的值；
（2）已知函数为二阶缩放函数，且当时，
，求证：函数
在
上无零点；
（3）已知函数为阶缩放函数，且当
时， 的取值范围是
，求在
上的取值范围．
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【题目】如果实系数
、
、
和
、
、
都是非零常数．
（1）设不等式
和
的解集分别是
、
，试问
是
的什么条件？并说明理由．
（2）在实数集中，方程
和
的解集分别为和，试问是的什么条件？并说明理由．
（3）在复数集中，方程和的解集分别为和，证明：是的充要条件．
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【题目】如图，曲线
由两个椭圆
：
和椭圆
：
组成，当
成等比数列时，称曲线为“猫眼曲线”.
（1）若猫眼曲线过点
，且的公比为
，求猫眼曲线的方程；
（2）对于题（1）中的求猫眼曲线，任作斜率为
且不过原点的直线与该曲线相交，交椭圆所得弦的中点为M，交椭圆所得弦的中点为N，求证：
为与
无关的定值；
（3）若斜率为
的直线
为椭圆的切线，且交椭圆于点
，
为椭圆上的任意一点（点与点不重合），求
面积的最大值.
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