【题目】已知椭圆E的长轴长与焦距比为2:1,左焦点F(﹣2,0),一定点为P(﹣8,0).
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)过P的直线与椭圆交于P1、P2两点,设直线P1F、P2F的斜率分别为k1、k2,求证:k1+k2=0.
(3)求△P1P2F面积的最大值.
【答案】(1)+
=1;(2)见解析;(3)3
.
【解析】
(1)设椭圆方程为+
=1(a>b>0),
由题意可得c=2,e==
,又c2=a2﹣b2,
解得c=2,a=4,b=2,
即椭圆方程为+
=1;
(2)证明:设直线P1P2:y=k(x+8),
代入椭圆方程可得(3+4k2)x2+64k2x+256k2﹣48=0,
由△=642k4﹣4(3+4k2)(256k2﹣48)>0,即有
设P1(x1,y1),P2(x2,y2),
x1+x2=﹣,x1x2=
,
即有k1+k2=+
=
+
=k
,
将韦达定理代入上式,可得
2x1x2+10(x1+x2)+32=﹣
+32=0,
则k1+k2=0;
(2)△P1P2F面积S=|PF||y1﹣y2|
=3|k||x1﹣x2|=3|k|=3|k|
=72,
设t=3+4k2(3<t<4),
则S=72=36
=36
,
当=
即t=
即k=±
时,取得最大值,且为3
.
则△P1P2F面积的最大值为3.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆的离心率为
,
,
分别是椭圆的左右焦点,过点
的直线交椭圆于
,
两点,且
的周长为12.
(Ⅰ)求椭圆的方程
(Ⅱ)过点作斜率为
的直线
与椭圆
交于两点
,
,试判断在
轴上是否存在点
,使得
是以
为底边的等腰三角形若存在,求点
横坐标的取值范围,若不存在,请说明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是( )
A. 消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米
B. 以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多
C. 甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油
D. 某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知顶点为原点的抛物线C的焦点与椭圆的上焦点重合,且过点
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若抛物线上不同两点A,B作抛物线的切线,两切线的斜率,若记AB的中点的横坐标为m,AB的弦长
,并求
的取值范围.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如果实系数、
、
和
、
、
都是非零常数.
(1)设不等式和
的解集分别是
、
,试问
是
的什么条件?并说明理由.
(2)在实数集中,方程和
的解集分别为
和
,试问
是
的什么条件?并说明理由.
(3)在复数集中,方程和
的解集分别为
和
,证明:
是
的充要条件.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知二次函数和
.
(1)为偶函数,试判断
的奇偶性;
(2)若方程有两个不相等的实根,当
时判断
在
上的单调性;
(3)当时,问是否存在x的值,使满足
且
的任意实数a,不等式
恒成立?并说明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知二次函数的图象的顶点坐标为
,且过坐标原点O,数列
的前n项和为
,点
(
)在二次函数
的图象上.
(1)求数列的表达式;
(2)设(
),数列
的前n项和为
,若
对
恒成立,求实数m的取值范围;
(3)在数列中是否存在这样的一些项,
,
,
,…
,…(
),这些项能够依次构成以
为首项,q(
,
)为公比的等比数列
?若存在,写出
关于k的表达式;若不存在,说明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数f(x).
(1)求函数y=f(x)的单调区间;
(2)若曲线y=f(x)与直线y=b(b∈R)有3个交点,求实数b的取值范围;
(3)过点P(﹣1,0)可作几条直线与曲线y=f(x)相切?请说明理由.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com