【题目】已知二次函数的图象的顶点坐标为
,且过坐标原点O,数列
的前n项和为
,点
(
)在二次函数
的图象上.
(1)求数列的表达式;
(2)设(
),数列
的前n项和为
,若
对
恒成立,求实数m的取值范围;
(3)在数列中是否存在这样的一些项,
,
,
,…
,…(
),这些项能够依次构成以
为首项,q(
,
)为公比的等比数列
?若存在,写出
关于k的表达式;若不存在,说明理由.
【答案】(1) (
) (2)见解析 (3) 存在,
,(
).
【解析】
(1)先求出,通过讨论n的范围,从而得到数列
的通项公式;
(2)通过讨论n的奇偶性,从而求出的表达式,问题转化为使
(n为正偶数)恒成立即可;
(3)通过讨论公比的奇偶性,从而得到答案.
(1)由题意得,
∴(
),
当时,
,
当时,
适合上式,
∴数列的通项公式是:
(
);
(2)∵,(
),
∴
,
由(1)得:数列是以1为首项,公差为
的等差数列,
①当,
时,
,
,
②当,
时,
,
∴,要使
对
恒成立,
只要使(n为正偶数)恒成立,
即使对n为正偶数恒成立.
∴;
(3)由知,数列
中每一项都不可能是偶数,
①如存在以为首项,公比q为2或4的数列
,
,此时
中每一项除第一项外都是偶数,
故不存在以为首项,公比为偶数的数列
;
②时,显然不存在这样的数列
,
时,若存在以
为首项,公比为3的数列
,
,则
,
,
,
,
∴存在满足条件的数列,且
,(
).
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【题目】设椭圆,定义椭圆C的“相关圆”E为:
.若抛物线
的焦点与椭圆C的右焦点重合,且椭圆C的短轴长与焦距相等.
(1)求椭圆C及其“相关圆”E的方程;
(2)过“相关圆”E上任意一点P作其切线l,若l 与椭圆交于A,B两点,求证:
为定值(
为坐标原点);
(3)在(2)的条件下,求面积的取值范围.
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【题目】已知椭圆E的长轴长与焦距比为2:1,左焦点F(﹣2,0),一定点为P(﹣8,0).
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)过P的直线与椭圆交于P1、P2两点,设直线P1F、P2F的斜率分别为k1、k2,求证:k1+k2=0.
(3)求△P1P2F面积的最大值.
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【题目】某农场规划将果树种在正方形的场地内.为了保护果树不被风吹,决定在果树的周围种松树. 在下图里,你可以看到规划种植果树的列数(n),果树数量及松树数量的规律:
(1)按此规律,n = 5时果树数量及松树数量分别为多少;并写出果树数量,及松树数量
关于n的表达式
(2)定义:
为
增加的速度;现农场想扩大种植面积,问:哪种树增加的速度会更快?并说明理由
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【题目】如图所示,在长方体中,AD=2,AB=AE=1,M为矩形AEHD内的一点,如果∠MGF=∠MGH,MG和平面EFG所成角的正切值为
那么点M到平面EFGH的距离是_____.
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【题目】定义:对于数列,如果存在常数
,使对任意正整数
,总有
成立,那么我们称数列
为“
﹣摆动数列”.
(1)设,
,
,判断数列
、
是否为“
﹣摆动数列”,并说明理由;
(2)已知“﹣摆动数列”
满足:
,
.求常数
的值;
(3)设,
,且数列
的前
项和为
.求证:数列
是“
﹣摆动数列”,并求出常数
的取值范围.
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【题目】已知椭圆的离心率为
,焦距为
,斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A、B.
(1)求椭圆M的方程;
(2)设P(﹣2,0),直线PA与椭圆M的另一个交点为C,直线PB与椭圆M的另一个交点为D,若C、D与点共线,求斜率k的值.
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【题目】某网购平台为了解某市居民在该平台的消费情况,从该市使用其平台且每周平均消费额超过100元的人员中随机抽取了100名,并绘制如图所示频率分布直方图,已知中间三组的人数可构成等差数列.
(1)求的值;
(2)分析人员对100名调查对象的性别进行统计发现,消费金额不低于300元的男性有20人,低于300元的男性有25人,根据统计数据完成下列列联表,并判断是否有
的把握认为消费金额与性别有关?
(3)分析人员对抽取对象每周的消费金额与年龄
进一步分析,发现他们线性相关,得到回归方程
.已知100名使用者的平均年龄为38岁,试判断一名年龄为25岁的年轻人每周的平均消费金额为多少.(同一组数据用该区间的中点值代替)
列联表
男性 | 女性 | 合计 | |
消费金额 | |||
消费金额 | |||
合计 |
临界值表:
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
,其中
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【题目】某校辨论队计划在周六、周日各参加一场辨论赛,分别由正、副队长负责,已知该校辩论队共有10位成员(包含正、副队长),每场比赛除负责人外均另需3位队员(同一队员可同时参加两天的比赛,正、副队长只能参加一场比赛).假设正副队长分别将各自比赛通知的信息独立、随机地发给辩论队8名队员中的3位,且所发信息都能收到.
(1)求辩论队员甲收到队长或副队长所发比赛通知信息的概率;
(2)记辩论队收到正副队长所发比赛通知信息的队员人数为随机变量,求
的分布列及其数学期望.
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