【题目】设椭圆,定义椭圆C的“相关圆”E为:.若抛物线的焦点与椭圆C的右焦点重合,且椭圆C的短轴长与焦距相等.
(1)求椭圆C及其“相关圆”E的方程;
(2)过“相关圆”E上任意一点P作其切线l,若l 与椭圆交于A,B两点,求证:为定值(为坐标原点);
(3)在(2)的条件下,求面积的取值范围.
【答案】(1),;(2)证明见解析;(3).
【解析】
(1)由题设知,又,从而可得,得椭圆方程,及相关圆方程;
(2)对直线斜率进行讨论,斜率不存在时,直接写出直线方程,求出坐标,得,
斜率存在时,设直线方程为,与椭圆方程联立方程组,消元后得关于的二次方程,有韦达定理得,由直线与圆相切得关系,计算也可得,定值.
(3)由于是“相关圆”半径,所以,结合韦达定理求得,并得到其范围,从而得面积的范围.
(1)抛物线的焦点是,与椭圆的一个焦点重合,∴,又,所以,
椭圆方程为,“相关圆”的方程为.
(2)当直线斜率不存在时,不妨设其方程为,则,可得.
当直线斜率存在时,设其方程为,设,由得,
,即,
由韦达定理得,.
因为直线与圆相切,所以,整理得,
所以,所以,,为定值.
(3)由于,因此求面积的取值范围只要求弦长的取值范围.
当直线斜率不存在时,,,
当直线斜率存在时,
,
时,0,
时,,
∴,即,当且仅当即时,.
所以的取值范围是,
故面积的取值范围是.
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【题目】已知椭圆:(),过原点的两条直线和分别与交于点、和、,得到平行四边形.
(1)当为正方形时,求该正方形的面积.
(2)若直线和关于轴对称,上任意一点到和的距离分别为和,当为定值时,求此时直线和的斜率及该定值.
(3)当为菱形,且圆内切于菱形时,求,满足的关系式.
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【题目】已知椭圆的离心率为,,分别是椭圆的左右焦点,过点的直线交椭圆于,两点,且的周长为12.
(Ⅰ)求椭圆的方程
(Ⅱ)过点作斜率为的直线与椭圆交于两点,,试判断在轴上是否存在点,使得是以为底边的等腰三角形若存在,求点横坐标的取值范围,若不存在,请说明理由.
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【题目】已知函数的图象过点和点.
(1)求函数的最大值与最小值;
(2)将函数的图象向左平移个单位后,得到函数的图象;已知点,若函数的图象上存在点,使得,求函数图象的对称中心.
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【题目】已知圆,线段、都是圆的弦,且与垂直且相交于坐标原点,如图所示,设△的面积为,设△的面积为.
(1)设点的横坐标为,用表示;
(2)求证:为定值;
(3)用、、、表示出,试研究是否有最小值,如果有,求出最小值,并写出此时直线的方程;若没有最小值,请说明理由.
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【题目】汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是( )
A. 消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米
B. 以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多
C. 甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油
D. 某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油
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【题目】已知顶点为原点的抛物线C的焦点与椭圆的上焦点重合,且过点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若抛物线上不同两点A,B作抛物线的切线,两切线的斜率,若记AB的中点的横坐标为m,AB的弦长,并求的取值范围.
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【题目】已知二次函数的图象的顶点坐标为,且过坐标原点O,数列的前n项和为,点()在二次函数的图象上.
(1)求数列的表达式;
(2)设(),数列的前n项和为,若对恒成立,求实数m的取值范围;
(3)在数列中是否存在这样的一些项,,,,…,…(),这些项能够依次构成以为首项,q(,)为公比的等比数列?若存在,写出关于k的表达式;若不存在,说明理由.
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