【题目】已知函数.
(1)若为单调函数,求a的取值范围;
(2)若函数仅一个零点,求a的取值范围.
【答案】(1)(2)或
【解析】
(1)对求导得,因为为单调函数,故或恒成立,利用导数研究或哪个能成立即可;
(2)因为,所以是的一个零点,由(1)可知,当时,为上的增函数,所以仅有一个零点,满足题意,当时,得,分,,讨论验证即可.
解析:(1)由(),得
,
因为为单调函数,
所以当时,或恒成立,
由于,于是只需或对于恒成立,
令,则,
当时,,所以为增函数,
则.又当时,,
则不可能恒成立,即不可能为单调减函数.
当,即时,恒成立,
此时函数为单调递增函数.
(2)因为,所以是的一个零点.
由(1)知,当时,为的增函数,
此时关于x的方程仅一解,即函数仅一个零点,满足条件.
当时,由得,
(ⅰ)当时,,
则,
令,
易知为的增函数,且,
所以当时,,即,为减函数,
当时,,即,为增函数,
所以,
在上恒成立,且仅当,于是函数仅一个零点.
所以满足条件.
(ⅱ)当时,由于在为增函数,
则,当时,.
则存在,使得,即使得,
当时,,
当时,,
所以,且当时,.
于是当时存在的另一解,不符合题意,舍去.
(ⅲ)当时,则在为增函数,
又,,
所以存在,使得,也就使得,
当时,,
当时,,
所以,且当时,.
于是在时存在的另一解,不符合题意,舍去.
综上,a的取值范围为或.
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【题目】 下列命题正确的个数是( )
①命题“x0∈R,+1>3x0”的否定是“x∈R,x2+1≤3x”;
②“函数f(x)=cos2ax-sin2ax的最小正周期为π”是“a=1”的必要不充分条件;
③x2+2x≥ax在x∈[1,2]上恒成立(x2+2x)min≥(ax)max在x∈[1,2]上恒成立;
④“平面向量a与b的夹角是钝角”的充要条件是“a·b<0”.
A.1B.2
C.3D.4
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【题目】某花圃为提高某品种花苗质量,开展技术创新活动,在,实验地分别用甲、乙方法培训该品种花苗.为观测其生长情况,分别在实验地随机抽取各50株,对每株进行综合评分,将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图.记综合评分为80及以上的花苗为优质花苗.
(Ⅰ)求图中的值;
(Ⅱ)用样本估计总体,以频率作为概率,若在,两块试验地随机抽取3棵花苗,求所抽取的花苗中的优质花苗数的分布列和数学期望;
(Ⅲ)填写下面的列联表,并判断是否有90%的把握认为优质花苗与培育方法有关.
优质花苗 | 非优质花苗 | 合计 | |
甲培育法 | 20 | ||
乙培育法 | 10 | ||
合计 |
附:下面的临界值表仅供参考.
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | <>0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(参考公式:,其中.)
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【题目】部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形,一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式,即一种基于递归的反馈系统.分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺木的融合,数学与艺术审美的统一,而且还有其深刻的科学方法论意义.如图,由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出的谢尔宾斯基三角形就属于-种分形,具体作法是取一个实心三角形,沿三角形的三边中点连线,将它分成4个小三角形,去掉中间的那一个小三角形后,对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形.
若在图④中随机选取-点,则此点取自阴影部分的概率为( )
A.B.C.D.
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【题目】如果函数y=f(x)的导函数的图象如图所示,给出下列判断:
①函数y=f(x)在区间内单调递增;
②函数y=f(x)在区间内单调递减;
③函数y=f(x)在区间(4,5)内单调递增;
④当x=2时,函数y=f(x)有极小值;
⑤当x=时,函数y=f(x)有极大值.
则上述判断中正确的是( )
A. ①② B. ②③
C. ③④⑤ D. ③
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【题目】对于定义在上的函数,若函数满足:①在区间上单调递减,②存在常数,使其值域为,则称函数是函数的“渐近函数”.
(1)判断函数是不是函数的“渐近函数”,说明理由;
(2)求证:函数不是函数的“渐近函数”;
(3)若函数,,求证:当且仅当时,是的“渐近函数”.
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【题目】如图,在四棱锥中,已知平面,且四边形为直角梯形,,,.
(Ⅰ)求平面与平面所成二面角(锐角)的余弦值;
(Ⅱ)点是线段上的动点,当直线与所成角最小时,求线段的长度.
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【题目】给出下列命题:
(1)存在实数使;
(2)直线是函数图象的一条对称轴;
(3)()的值域是;
(4)若,都是第一象限角,且,则.
其中正确命题的序号为( )
A.(1)(2)B.(2)(3)C.(3)(4)D.(1)(4)
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