Question

【题目】对于定义在上的函数,若函数满足：①在区间上单调递减，②存在常数,使其值域为，则称函数是函数的“渐近函数”.

(1)判断函数是不是函数的“渐近函数”，说明理由；

(2)求证：函数不是函数的“渐近函数”；

(3)若函数，,求证：当且仅当时,是的“渐近函数”.

Answer 1

【答案】（1）是，见解析；（2）见解析；（3）见解析

【解析】

(1)用反比例型函数的单调性,可以判断函数是否满足定义中的两条性质,进而可以判断出函数是不是函数的“渐近函数”.

(2)利用指数型函数的单调性、单调性的性质,证明出函数至少不满足定义中两条性质中的一条,即可证明出函数不是函数的“渐近函数”；

(3)根据定义可知函数是上的减函数.这样运用单调性的定义,可以求出的取值范围,再根据定义中的第二条性质再求出的取值范围,最后可以确定的值.

(1) 函数是函数的“渐近函数”理由如下：

,

显然函数在上单调递减,当时, ,因此存在常数,使得函数的值域为,故函数是函数的“渐近函数”；

(2) ,由指数型复合函数的单调性和函数单调性的性质可知：函数在上单调递减,符合定义中的第一条性质,

当时, ,,故函数的值趋近负无穷大,故不满足第二条性质,故函数不是函数的“渐近函数”；

(3) 由题意可知：在上是减函数.

设且,则有

,

因为且,所以，

因为在上是减函数，而,则必有

，所以,即；

函数在上的值域为,则有,

显然,当时，,因此,综上所述：.