[题目]如图,在几何体中,平面底面,四边形是正方形, 是的中点,且,.(I)证明: ,(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值 . 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】如图,在几何体中,平面底面,四边形是正方形, 是的中点,且,.

(I)证明: ；

(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值 .

【答案】(Ⅰ)见解析（Ⅱ）

【解析】分析：（Ⅰ）设法证明四边形是平行四边形，则，由即可求出证明，

（Ⅱ）以为原点，分别为轴和轴建立空间直角坐标系，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与平面所成角的正弦值 .．

详解：

(Ⅰ)如图1所示，连接交于点，连接.

∵四边形是正方形，∴是的中点

又已知是的中点，∴

又∵且，∴

即四边形是平行四边形，∴，

∵，∴ /span>

(Ⅱ) 如图2所示，以为原点，分别为轴和轴建立空间直角坐标系，

令，

则，，

∴，，，

设平面的法向量为，则由，，

可得：，可令，则，

∴平面的一个法向量

设直线与平面所成角为，则.

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