Question

【题目】已知函数，.

（1）讨论的单调性；

（2）若，证明：当时，．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】

（1）求函数导数，讨论a，根据导数的正负分析函数单调性即可；

（2）要证在上恒成立，即证明，在上恒成立，设，求函数导数，利用单调性求最值证明即可.

（1）

当时，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

所以在上单调递减，在上单调递增.

当时，令得 （*）

因为所以方程（*）有两根，由求根公式得， .

当时，， 当或时，，单调递减，

当时，，单调递增，

所以在和上单调递减，在上单调递增.

当时，， 当或时，，单调递增，当时，，单调递减，

所以在和上单调递增，在上单调递减.

综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增；

当时，在和上单调递减，在上单调递增；

当时，在和上单调递增，在上单调递减.

（2）当时，，由题意知，要证在上恒成立，

即证明，在上恒成立.

设，则，

因为，所以，（当且仅当时等号成立），

即，

所以在上单调递增，，

所以在上恒成立.