【题目】已知椭圆:
(
),过原点的两条直线
和
分别与
交于点
、
和
、
,得到平行四边形
.
(1)当为正方形时,求该正方形的面积
.
(2)若直线和
关于
轴对称,
上任意一点
到
和
的距离分别为
和
,当
为定值时,求此时直线
和
的斜率及该定值.
(3)当为菱形,且圆
内切于菱形
时,求
,
满足的关系式.
【答案】(1);(2)
和
,
;(3)
.
【解析】
(1)直线和
的方程为
和
利用
,可得
,根据对称性,可得正方形
的面积;
(2) 利用距离公式,结合为定值,即可证明结论;(3)设出切线
的方程与椭圆方程联立,分类讨论,即可求
满足的关系式.
(1)因为为正方形,所以直线
和
的方程为
和
.
点、
的坐标
、
为方程组
的实数解,
将代入椭圆方程,解得
.
根据对称性,可得正方形的面积
.
(2)由题设,不妨设直线的方程为
(
),于是直线
的方程为
.
设,于是有
,又
,
,
,将
代入上式,
得,
对于任意,上式为定值,必有
,即
,
因此,直线和
的斜率分别为
和
,
此时.
(3)设与圆
相切的切点坐标为
,于是切线
的方程为
.
点、
的坐标
、
为方程组
的实数解.
① 当或
时,
均为正方形,椭圆均过点
,于是有
.
② 当且
时,将
代入
,
整理得,
于是,
同理可得.
因为为菱形,所以
,
得,即
,
于是,
整理得,由
,
得,即
.
综上,,
满足的关系式为
.
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【题目】对于函数,若存在正常数
,使得对任意的
,都有
成立,我们称函数
为“
同比不减函数”.
(1)求证:对任意正常数,
都不是“
同比不减函数”;
(2)若函数是“
同比不减函数”,求
的取值范围;
(3)是否存在正常数,使得函数
为“
同比不减函数”,若存在,求
的取值范围;若不存在,请说明理由.
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【题目】我市为改善空气环境质量,控制大气污染,政府相应出台了多项改善环境的措施.其中一项是为了减少燃油汽车对大气环境污染.从2018年起大力推广使用新能源汽车,鼓励市民如果需要购车,可优先考虑选用新能源汽车.政府对购买使用新能源汽车进行购物补贴,同时为了地方经济发展,对购买本市企业生产的新能源汽车比购买外地企业生产的新能源汽车补贴高.所以市民对购买使用本市企业生产的新能源汽车的满意度也相应有所提高.有关部门随机抽取本市本年度内购买新能源汽车的户,其中有
户购买使用本市企业生产的新能源汽车,对购买使用新能源汽车的满意度进行调研,满意度以打分的形式进行.满分
分,将分数按照
分成5组,得如下频率分布直方图.
(1)若本次随机抽取的样本数据中购买使用本市企业生产的新能源汽车的用户中有户满意度得分不少于
分,把得分不少于
分为满意.根据提供的条件数据,完成下面的列联表.
满意 | 不满意 | 总计 | |
购本市企业生产的新能源汽车户数 | |||
购外地企业生产的新能源汽车户数 | |||
总计 |
并判断是否有的把握认为购买使用新能源汽车的满意度与产地有关?
(2)以频率作为概率,政府对购买使用新能源汽车的补贴标准是:购买本市企业生产的每台补贴万元,购买外地企业生产的每台补贴
万元.但本市本年度所有购买新能源汽车的补贴每台的期望值不超过
万元.则购买外地产的新能源汽车每台最多补贴多少万元?
附:,其中
.
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【题目】如图:在四棱锥中,
平面
,底面
是正方形,
.
(1)求异面直线与
所成角的大小(结果用反三角函数值表示);
(2)求点、
分别是棱
和
的中点,求证:
平面
.
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【题目】已知各项均为正数的数列{an}的前n项和Sn满足S1>1,且(nN*).
(1)求{an}的通项公式;
(2)设数列满足
,Tn为数列{bn}的前n项和,求Tn;
(3)设*(
为正整数),问是否存在正整数
,使得当任意正整数n>N时恒有Cn>2015成立?若存在,请求出正整数
的取值范围;若不存在,请说明理由.
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【题目】 已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|.
(1)当a=-3时,求不等式f(x)≥3的解集;
(2)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求a的取值范围.
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【题目】关于函数,给出以下四个命题:(1)当
时,
单调递减且没有最值;(2)方程
一定有实数解;(3)如果方程
(
为常数)有解,则解得个数一定是偶数;(4)
是偶函数且有最小值.其中假命题的序号是____________.
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【题目】设椭圆,定义椭圆C的“相关圆”E为:
.若抛物线
的焦点与椭圆C的右焦点重合,且椭圆C的短轴长与焦距相等.
(1)求椭圆C及其“相关圆”E的方程;
(2)过“相关圆”E上任意一点P作其切线l,若l 与椭圆交于A,B两点,求证:
为定值(
为坐标原点);
(3)在(2)的条件下,求面积的取值范围.
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