【题目】对于函数,若存在正常数
,使得对任意的
,都有
成立,我们称函数
为“
同比不减函数”.
(1)求证:对任意正常数,
都不是“
同比不减函数”;
(2)若函数是“
同比不减函数”,求
的取值范围;
(3)是否存在正常数,使得函数
为“
同比不减函数”,若存在,求
的取值范围;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在,
【解析】
(1)取特殊值使得不成立,即可证明;
(2)根据“同比不减函数”的定义,
恒成立,分离参数
,构造函数,转化为
与函数的最值关系,即可求出结果;
(3)去绝对值化简函数解析式,根据“
同比不减函数”的定义,取
,因为
成立,求出
的范围,然后证明对任意的
,
恒成立,即可求出结论.
证明:(1)任取正常数,存在
,所以
,
因为,
即不恒成立,
所以不是“
同比不减函数”.
(2)因为函数是“
同比不减函数”,
所以恒成立,即
恒成立,
对一切
成立.
所以.
(3)设函数是“
同比不减函数”,
,
当时,因为
成立,
所以,所以
,
而另一方面,若,
(Ⅰ)当时,
因为,
所以,所以有
成立.
(Ⅱ)当时,
因为,
所以,
即成立.
综上,恒有有成立,
所以的取值范围是
.
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【题目】已知四边形为矩形,
,
为
的中点,将
沿
折起,得到四棱锥
,设
的中点为
,在翻折过程中,得到如下有三个命题:
①平面
,且
的长度为定值
;
②三棱锥的最大体积为
;
③在翻折过程中,存在某个位置,使得.
其中正确命题的序号为__________.(写出所有正确结论的序号)
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【题目】已知等比数列的前n项和为
,且当
时,
是
与2m的等差中项
为实数
.
(1)求m的值及数列的通项公式;
(2)令,是否存在正整数k,使得
对任意正整数n均成立?若存在,求出k的最大值;若不存在,说明理由.
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【题目】已知函数的周期为
,图象的一个对称中心为
.将函数
图象上所有点的横坐标伸长到原来的
倍(纵坐标不变),再将所得到的图象向右平移
个单位长度后得到函数
的图象.
(1)求函数与
的解析式;
(2)(理)求证:存在,使得
,
,
能按照某种顺序成等差数列.
(3)(文)定义:当函数取得最值时,函数图像上对应的点称为函数的最值点,如果函数的图像上至少有一个最大值点和一个最小值点在圆
的内部或圆周上,求
的取值范围.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴,建立极坐标系,点
的极坐标为
,直线
的极坐标方程为
,且
过点
,曲线
的参数方程为
(
为参数).
(Ⅰ)求曲线上的点到直线
的距离的最大值;
(Ⅱ)过点与直线
平行的直线
与曲线
交于
两点,求
的值.
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【题目】设是定义在
上的函数,若存在
,使得
在
上单调递增,在
上单调递减,则称
为
上的单峰函数,
称为峰点,包含峰点的区间称为含峰区间;
(1)判断下列函数:①,②
,哪些是“
上的单峰函数”?若是,指出峰点,若不是,说明理由;
(2)若函数(
)是
上的单峰函数,求实数a的取值范围;
(3)设是
上的单峰函数,若m,
),
,且
,求证:
为
的含峰区间.
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【题目】已知椭圆:
(
),过原点的两条直线
和
分别与
交于点
、
和
、
,得到平行四边形
.
(1)当为正方形时,求该正方形的面积
.
(2)若直线和
关于
轴对称,
上任意一点
到
和
的距离分别为
和
,当
为定值时,求此时直线
和
的斜率及该定值.
(3)当为菱形,且圆
内切于菱形
时,求
,
满足的关系式.
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