【题目】已知四边形为矩形,
,
为
的中点,将
沿
折起,得到四棱锥
,设
的中点为
,在翻折过程中,得到如下有三个命题:
①平面
,且
的长度为定值
;
②三棱锥的最大体积为
;
③在翻折过程中,存在某个位置,使得.
其中正确命题的序号为__________.(写出所有正确结论的序号)
【答案】①②
【解析】
取的中点
,连接
、
,证明四边形
为平行四边形,得出
,可判断出命题①的正误;由
为
的中点,可知三棱锥
的体积为三棱锥
的一半,并由平面
平面
,得出三棱锥
体积的最大值,可判断出命题②的正误;取
的中点
,连接
,由
,结合
得出
平面
,推出
得出矛盾,可判断出命题③的正误.
如下图所示:
对于命题①,取的中点
,连接
、
,则
,
,
,由勾股定理得
,
易知,且
,
、
分别为
、
的中点,所以,
,
四边形
为平行四边形,
,
,
平面
,
平面
,
平面
,命题①正确;
对于命题②,由为
的中点,可知三棱锥
的体积为三棱锥
的一半,当平面
平面
时,三棱锥
体积取最大值,
取的中点
,则
,且
,
平面
平面
,平面
平面
,
,
平面
,
平面
,
的面积为
,
所以,三棱锥的体积的最大值为
,
则三棱锥的体积的最大值为
,命题②正确;
对于命题③,,
为
的中点,所以,
,
若,且
,
平面
,
由于平面
,
,事实上,易得
,
,
,由勾股定理可得
,这与
矛盾,命题③错误.
故答案为:①②.
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【题目】在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为
,P是曲线
上的动点,M为线段OP的中点,设点M的轨迹为曲线
.
(1)求的极坐标方程;
(2)若射线与曲线
异于极点的交点为A,与曲线
异于极点的交点为B,求
.
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【题目】某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位:m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据,得到频数分布表如下:
未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用 水量 | |||||||
频数 | 1 | 3 | 2 | 4 | 9 | 26 | 5 |
使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用 水量 | ||||||
频数 | 1 | 5 | 13 | 10 | 16 | 5 |
(1)在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图:
(2)估计该家庭使用节水龙头后,日用水量小于0.35 m3的概率;
(3)估计该家庭使用节水龙头后,一年能节省多少水?(一年按365天计算,同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表.)
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【题目】如图,四棱锥的底面是菱形,
底面
,
分别是
的中点,
,
,
.
(I)证明:;
(II)求直线与平面
所成角的正弦值;
(III)在边上是否存在点
,使
与
所成角的余弦值为
,若存在,确定点
位置;若不存在,说明理由.
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【题目】一个工厂在某年连续10个月每月产品的总成本y(万元)与该月产量x(万件)之间有如下一组数据:
x | 1.08 | 1.12 | 1.19 | 1.28 | 1.36 | 1.48 | 1.59 | 1.68 | 1.80 | 1.87 |
y | 2.25 | 2.37 | 2.40 | 2.55 | 2.64 | 2.75 | 2.92 | 3.03 | 3.14 | 3.26 |
(1)通过画散点图,发现可用线性回归模型拟合y与x的关系,请用相关系数加以说明;
(2)①建立月总成本y与月产量x之间的回归方程;
②通过建立的y关于x的回归方程,估计某月产量为1.98万件时,此时产品的总成本为多少万元?
(均精确到0.001)
附注:①参考数据:,
,
②参考公式:相关系数,
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
.
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【题目】商品价格与商品需求量是经济学中的一种基本关系,某服装公司需对新上市的一款服装制定合理的价格,需要了解服装的单价x(单位:元)与月销量y(单位:件)和月利润z(单位:元)的影响,对试销10个月的价格和月销售量
(
)数据作了初步处理,得到如图所示的散点图及一些统计量的值.
x | y | |||||
61 | 0.018 | 372 | 2670 | 26 | 0.0004 |
表中.
(1)根据散点图判断,与
哪一个适宜作为需求量y关于价格x的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程;
(3)已知这批服装的成本为每件10元,根据(1)的结果回答下列问题;
(i)预测当服装价格时,月销售量的预报值是多少?
(span>ii)当服装价格x为何值时,月利润的预报值最大?(参考数据)
附:对于一组数据,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为.
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