Question

【题目】如图，四棱锥的底面是菱形，底面，分别是的中点，，，.

（I）证明：；

（II）求直线与平面所成角的正弦值；

（III）在边上是否存在点，使与所成角的余弦值为，若存在，确定点位置；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）； （Ⅲ）见解析.

【解析】

(Ⅰ)由题意结合几何关系可证得平面，据此证明题中的结论即可；

(Ⅱ)建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量与平面的一个法向量，然后求解线面角的正弦值即可；

(Ⅲ)假设满足题意的点存在，设，由直线与的方向向量得到关于的方程，解方程即可确定点F的位置.

(Ⅰ)由菱形的性质可得：，结合三角形中位线的性质可知：，故，

底面，底面，故，

且，故平面，

平面，

(Ⅱ)由题意结合菱形的性质易知，，，

以点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则：，

设平面的一个法向量为,

则：，

据此可得平面的一个法向量为，

而，

设直线与平面所成角为，

则.

(Ⅲ)由题意可得：，假设满足题意的点存在，

设，，

据此可得：，即：,

从而点F的坐标为，

据此可得：,，

结合题意有：，解得：.

故点F为中点时满足题意.