【题目】如图,,
,
,
,
分别为
,
边的中点,以
为折痕把
折起,使点
到达点
的位置,且
..
(Ⅰ)证明:平面
;
(Ⅱ)设为线段
上动点,求直线
与平面
所成角的正弦值的最大值.
【答案】(Ⅰ)见解析;
(Ⅱ).
【解析】
(Ⅰ)由题,易证得,即可证得结论;
(Ⅱ)取BE的中点O,连接PO,易证得PO,然后以O为原点,建立直角坐标系,利用空间向量求得
与平面
所成角的正弦值,求得其最大值即可.
(Ⅰ)E,F分别为AB ,AC边的中点,所以
因为
又因为 ,所以
平面
.
(Ⅱ)取BE的中点O,连接PO,
由(1)知平面
,EF
平面BCFE,,
所以平面PBE平面BCFE
因为PB=BE=PE,所以PO,
又因为PO平面PBE,平面PBE
平面BCFE=BE
所以PO .
过O作OM//BC交CF于M,分别以OB,OM,OP所在直线为
x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图所示.
N为线段PF上一动点设,由,
得
设平面PCF的法向量为
则 即取
设直线BN与平面PCF所成角
直线BN与平面PCF所成角的正弦值的最大值为
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某小学举办“父母养育我,我报父母恩”的活动,对六个年级(一年级到六年级的年级代码分别为1,2…,6)的学生给父母洗脚的百分比y%进行了调查统计,绘制得到下面的散点图.
(1)由散点图看出,可用线性回归模型拟合y与x的关系,请用相关系数加以说明;
(2)建立y关于x的回归方程,并据此预计该校学生升入中学的第一年(年级代码为7)给父母洗脚的百分比.
附注:参考数据:
参考公式:相关系数,若r>0.95,则y与x的线性相关程度相当高,可用线性回归模型拟合y与x的关系.回归方程
中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为
=
,
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系中,以原点
为极点,
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线
的极坐标方程为
,
为曲线
上的动点,
与
轴、
轴的正半轴分别交于
,
两点.
(1)求线段中点
的轨迹的参数方程;
(2)若是(1)中点
的轨迹上的动点,求
面积的最大值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆:
,其中
,点
是椭圆
的右顶点,射线
:
与椭圆
的交点为
.
(1)求点的坐标;
(2)设椭圆的长半轴、短半轴的长分别为
、
,当
的值在区间
中变化时,求
的取值范围;
(3)在(2)的条件下,以为焦点,
为顶点且开口方向向左的抛物线过点
,求实数
的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某公交公司为了方便市民出行,科学规划车辆投放,在一个人员密集流动地段增设一个起点站,为了研究车辆发车间隔时间x与乘客等候人数y之间的关系,经过调查得到如下数据:
间隔时间x/分 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
等候人数y/人 | 23 | 25 | 26 | 29 | 28 | 31 |
调查小组先从这6组数据中选取4组数据求线性回归方程,再用剩下的2组数据进行检验.检验方法如下:先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数,再求
与实际等候人数y的差,若差值的绝对值都不超过1,则称所求方程是“恰当回归方程”.
(1)从这6组数据中随机选取4组数据,求剩下的2组数据的间隔时间相邻的概率;
(2)若选取的是中间4组数据,求y关于x的线性回归方程,并判断此方程是否是“恰当回归方程”.
附:对于一组数据,其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为:
,
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某公司航拍宣传画报,为了凸显公司文化,选择如图所示的边长为2百米的正三角形空地进行布置拍摄场景,在
的中点
处安装中央聚光灯,
为边
上得可以自由滑动的动点,其中
设置为普通色彩灯带(灯带长度可以自由伸缩),线段
部分需要材料
(单位:百米)装饰用以增加拍摄效果因材料
价格昂贵,所以公司要求采购
材料使用不造成浪费.
(1)当,
与
垂直时,采购部需要采购多少百米材料
?
(2)为了增加拍摄动态效果需要,现要求点在
边上滑动,且
,则购买材料
的范围是多少才能满足动态效果需要又不会造成浪费.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,四棱锥的底面是菱形,
底面
,
分别是
的中点,
,
,
.
(I)证明:;
(II)求直线与平面
所成角的正弦值;
(III)在边上是否存在点
,使
与
所成角的余弦值为
,若存在,确定点
位置;若不存在,说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知空间几何体中,
与
均为边长为
的等边三角形,
为腰长为
的等腰三角形,平面
平面
,平面
平面
.
(1)试在平面内作一条直线,使直线上任意一点
与
的连线
均与平面
平行,并给出详细证明
(2)求点到平面
的距离
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