【题目】已知椭圆
：
，其中
，点
是椭圆的右顶点，射线
：
与椭圆的交点为
.
（1）求点的坐标；
（2）设椭圆的长半轴、短半轴的长分别为
、
，当
的值在区间
中变化时，求
的取值范围；
（3）在（2）的条件下，以为焦点，
为顶点且开口方向向左的抛物线过点，求实数
的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
（1）联立方程组
，再求解即可；
（2）由椭圆的几何性质可得
，
，再解不等式
即可；
（3）先求出抛物线的方程为
，由点
在抛物线上可得
，再令
，则
①，其中
，则问题可转化为抛物线①在区间
上与椭圆有一个交点的充要条件是：
，再求解即可.
解：（1）解方程组，
得
，
所以；
（2）因为
，
，所以椭圆的焦点在
轴上，，，
由条件
，得：，所以；
（3）由题意得：
，且抛物线焦点
与顶点
的距离为
，
设抛物线方程为：
，那么
，
故抛物线的方程为，
因为点在抛物线上，所以，
，
设，因为，所以，
令①，其中，
抛物线①开口向上，其对称轴
，
抛物线①在区间上与椭圆有一个交点的充要条件是：，
即
，所以
，
所以
的取值范围是.
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【题目】在平面直角坐标系
中，曲线
过点
，其参数方程为
（
为参数， 
），以
为极点， 
轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
.
（1）求曲线
的普通方程和曲线
的直角坐标方程；
（2）求已知曲线
和曲线
交于
两点，且
，求实数
的值.
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【题目】某超市从2014年甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取100个，并按[ 0，10]，（10，20]，（20，30]，（30，40]，（40，50]分组，得到频率分布直方图如下：
假设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立．
（1）写出频率分布直方图（甲）中的
的值；记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为
，
，试比较与的大小；（只需写出结论）
（2）估计在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱且另一个不高于20箱的概率；
（3）设
表示在未来3天内甲种酸奶的日销售量不高于20箱的天数，以日销售量落入各组的频率作为概率，求的数学期望．
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【题目】如图,五边形
中,四边形
为长方形,
为边长为
的正三角形,将沿
折起,使得点
在平面上的射影恰好在
上.
（Ⅰ）当
时,证明:平面
平面
；
（Ⅱ）若
,求平面与平面
所成二面角的余弦值的绝对值.
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【题目】如图，
，
，
，
，
分别为
，
边的中点，以
为折痕把
折起，使点
到达点
的位置，且
..
（Ⅰ）证明：
平面
；
（Ⅱ）设
为线段
上动点，求直线
与平面
所成角的正弦值的最大值.
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【题目】如图，把长为6，宽为3的矩形折成正三棱柱
，三棱柱的高度为3，矩形的对角线和三棱柱的侧棱
、
的交点记为
.
（1）在三棱柱中，若过
三点做一平面，求截得的几何体
的表面积；
（2）求三棱柱中异面直线
与
所成角的余弦值.
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【题目】已知抛物线方程
，
为焦点，
为抛物线准线上一点，
为线段
与抛物线的交点，定义:
.
（1）当
时，求
；
（2）证明:存在常数
，使得
.
（3）
为抛物线准线上三点，且
，判断
与
的关系.
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【题目】已知正方形
和矩形
所在的平面互相垂直，
，点
在线段
上.
（Ⅰ）若为的中点，求证：
平面
；
（Ⅱ）求二面角
的余弦值；
（Ⅲ）证明：存在点，使得
平面
，并求
的值.
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