【题目】已知椭圆:,其中,点是椭圆的右顶点,射线:与椭圆的交点为.
(1)求点的坐标;
(2)设椭圆的长半轴、短半轴的长分别为、,当的值在区间中变化时,求的取值范围;
(3)在(2)的条件下,以为焦点,为顶点且开口方向向左的抛物线过点,求实数的取值范围.
【答案】(1)(2)(3)
【解析】
(1)联立方程组,再求解即可;
(2)由椭圆的几何性质可得,,再解不等式即可;
(3)先求出抛物线的方程为,由点在抛物线上可得,再令,则①,其中,则问题可转化为抛物线①在区间上与椭圆有一个交点的充要条件是:,再求解即可.
解:(1)解方程组,
得,
所以;
(2)因为,,所以椭圆的焦点在轴上,,,
由条件,得:,所以;
(3)由题意得:,且抛物线焦点与顶点的距离为,
设抛物线方程为:,那么,
故抛物线的方程为,
因为点在抛物线上,所以,
,
设,因为,所以,
令①,其中,
抛物线①开口向上,其对称轴,
抛物线①在区间上与椭圆有一个交点的充要条件是:,
即,所以,
所以的取值范围是.
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【题目】在平面直角坐标系中,曲线过点,其参数方程为(为参数, ),以为极点, 轴非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程;
(2)求已知曲线和曲线交于两点,且,求实数的值.
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【题目】某超市从2014年甲、乙两种酸奶的日销售量(单位:箱)的数据中分别随机抽取100个,并按[ 0,10],(10,20],(20,30],(30,40],(40,50]分组,得到频率分布直方图如下:
假设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立.
(1)写出频率分布直方图(甲)中的的值;记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量(单位:箱)的方差分别为,,试比较与的大小;(只需写出结论)
(2)估计在未来的某一天里,甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱且另一个不高于20箱的概率;
(3)设表示在未来3天内甲种酸奶的日销售量不高于20箱的天数,以日销售量落入各组的频率作为概率,求的数学期望.
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【题目】如图,五边形中,四边形为长方形,为边长为的正三角形,将沿折起,使得点在平面上的射影恰好在上.
(Ⅰ)当时,证明:平面平面;
(Ⅱ)若,求平面与平面所成二面角的余弦值的绝对值.
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【题目】如图,,,,,分别为,边的中点,以为折痕把折起,使点到达点的位置,且..
(Ⅰ)证明:平面;
(Ⅱ)设为线段上动点,求直线与平面所成角的正弦值的最大值.
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【题目】如图,把长为6,宽为3的矩形折成正三棱柱,三棱柱的高度为3,矩形的对角线和三棱柱的侧棱、的交点记为.
(1)在三棱柱中,若过三点做一平面,求截得的几何体的表面积;
(2)求三棱柱中异面直线与所成角的余弦值.
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【题目】已知抛物线方程,为焦点,为抛物线准线上一点,为线段与抛物线的交点,定义:.
(1)当时,求;
(2)证明:存在常数,使得.
(3)为抛物线准线上三点,且,判断与的关系.
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【题目】已知正方形和矩形所在的平面互相垂直,,点在线段上.
(Ⅰ)若为的中点,求证:平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)证明:存在点,使得平面,并求的值.
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