Question

【题目】已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，点在线段上.

（Ⅰ）若为的中点，求证：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）证明：存在点，使得平面，并求的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）详见解析.

【解析】

（Ⅰ）设，根据平面几何知识得为平行四边形，即得，再根据线面平行判定定理得结果，（Ⅱ）建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解得平面的一个法向量，根据向量数量积得法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得结果，（Ⅲ）设，根据题意得与平面法向量，列式可得M坐标，代入即得的值.

（Ⅰ）设，连结，

因为正方形，所以为中点

又矩形,为的中点

所以且

所以为平行四边形

所以

又平面，平面

所以平面

（Ⅱ）以为原点，分别以为轴建立坐标系

则

设平面的法向量为，

由得

则

易知平面的法向量

由图可知二面角为锐角

所以二面角的余弦值为

（Ⅲ）设，则

若平面，则，即

所以解得所以

所以