Question

【题目】某公司航拍宣传画报，为了凸显公司文化，选择如图所示的边长为2百米的正三角形空地进行布置拍摄场景，在的中点处安装中央聚光灯，为边上得可以自由滑动的动点，其中设置为普通色彩灯带(灯带长度可以自由伸缩)，线段部分需要材料 (单位:百米)装饰用以增加拍摄效果因材料价格昂贵，所以公司要求采购材料使用不造成浪费.

（1）当，与垂直时，采购部需要采购多少百米材料？

（2）为了增加拍摄动态效果需要，现要求点在边上滑动，且，则购买材料的范围是多少才能满足动态效果需要又不会造成浪费.

Answer 1

【答案】（1）（百米）；

（2）（单位为百米）.

【解析】

（1）因为与垂直，所以三角形是直角三角形，利用锐角三角函数，可以求出的长，这样可以求出的长，在中，利用正弦定理可以求出的长，这样可以求出的长,这样可以求出采购部需要采购材料的数量;

（2）设，根据，可以求出的取值范围，由和三角形等边三角形，可以证明出与相似,这样可以得到之间的关系,这样可以用关于的式子表示，构造函数，利用函数的单调性，求出的取值范围.

（1）三角形等边三角形，是的中点，因此,,因为与重直，所以三角形是直角三角形，因此有,

所以,因此，在中，由正弦定理可知：

, ，因此,所以采购部需要采购材料为（百米）；

（2）设，当与重合时,由，可求得，所以，

因为，所以,而,

所以,，因此与相似，

所以有，设，，

，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，故当时，有最大值2，

，所以，购买材料的范围是（单位为百米）.