【题目】某公司航拍宣传画报,为了凸显公司文化,选择如图所示的边长为2百米的正三角形空地进行布置拍摄场景,在的中点处安装中央聚光灯,为边上得可以自由滑动的动点,其中设置为普通色彩灯带(灯带长度可以自由伸缩),线段部分需要材料 (单位:百米)装饰用以增加拍摄效果因材料价格昂贵,所以公司要求采购材料使用不造成浪费.
(1)当,与垂直时,采购部需要采购多少百米材料?
(2)为了增加拍摄动态效果需要,现要求点在边上滑动,且,则购买材料的范围是多少才能满足动态效果需要又不会造成浪费.
【答案】(1)(百米);
(2)(单位为百米).
【解析】
(1)因为与垂直,所以三角形是直角三角形,利用锐角三角函数,可以求出的长,这样可以求出的长,在中,利用正弦定理可以求出的长,这样可以求出的长,这样可以求出采购部需要采购材料的数量;
(2)设,根据,可以求出的取值范围,由和三角形等边三角形,可以证明出与相似,这样可以得到之间的关系,这样可以用关于的式子表示,构造函数,利用函数的单调性,求出的取值范围.
(1)三角形等边三角形,是的中点,因此,,因为与重直,所以三角形是直角三角形,因此有,
所以,因此,在中,由正弦定理可知:
, ,因此,所以采购部需要采购材料为(百米);
(2)设,当与重合时,由,可求得,所以,
因为,所以,而,
所以,,因此与相似,
所以有,设,,
,当时,,函数单调递增,当时,,函数单调递减,故当时,有最大值2,
,所以,购买材料的范围是(单位为百米).
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【题目】改革开放40年来,体育产业蓬勃发展反映了“健康中国”理念的普及.下图是我国2006年至2016年体育产业年增加值及年增速图.其中条形图表示体育产业年增加值(单位:亿元),折线图为体育产业年增长率(%).
(Ⅰ)从2007年至2016年这十年中随机选出一年,求该年体育产业年增加值比前一年多亿元以上的概率;
(Ⅱ)从2007年至2011年这五年中随机选出两年,求至少有一年体育产业年增长率超过25%的概率;
(Ⅲ)由图判断,从哪年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大?从哪年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大?(结论不要求证明)
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【题目】某超市从2014年甲、乙两种酸奶的日销售量(单位:箱)的数据中分别随机抽取100个,并按[ 0,10],(10,20],(20,30],(30,40],(40,50]分组,得到频率分布直方图如下:
假设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立.
(1)写出频率分布直方图(甲)中的的值;记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量(单位:箱)的方差分别为,,试比较与的大小;(只需写出结论)
(2)估计在未来的某一天里,甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱且另一个不高于20箱的概率;
(3)设表示在未来3天内甲种酸奶的日销售量不高于20箱的天数,以日销售量落入各组的频率作为概率,求的数学期望.
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【题目】如图,,,,,分别为,边的中点,以为折痕把折起,使点到达点的位置,且..
(Ⅰ)证明:平面;
(Ⅱ)设为线段上动点,求直线与平面所成角的正弦值的最大值.
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【题目】如图,把长为6,宽为3的矩形折成正三棱柱,三棱柱的高度为3,矩形的对角线和三棱柱的侧棱、的交点记为.
(1)在三棱柱中,若过三点做一平面,求截得的几何体的表面积;
(2)求三棱柱中异面直线与所成角的余弦值.
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【题目】设函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若有两个极值点和,记过点,的直线的斜率为k,问:是否存在m,使得?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知抛物线方程,为焦点,为抛物线准线上一点,为线段与抛物线的交点,定义:.
(1)当时,求;
(2)证明:存在常数,使得.
(3)为抛物线准线上三点,且,判断与的关系.
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【题目】奖饭店推出甲.乙两种新菜品,为了了解两种菜品的受欢迎程度,现统计一周内两种菜品每天的销售量,得到下面的茎叶图.下列说法中,不正确的是( )
A.甲菜品销售量的众数比乙菜品销售量的众数小
B.甲菜品销售量的中位数比乙菜品销售量的中位数小
C.甲菜品销售量的平均值比乙菜品销售量的平均值大
D.甲菜品销售量的方差比乙菜品销售量的方差大.
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【题目】已知,数列A:,,…中的项均为不大于的正整数.表示,,…中的个数().定义变换,将数列变成数列:,,…其中.
(1)若,对数列:,写出的值;
(2)已知对任意的(),存在中的项,使得.求证: ()的充分必要条件为();
(3)若,对于数列:,,…,令:,求证:().
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