【题目】设函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若有两个极值点
和
,记过点
,
的直线的斜率为k,问:是否存在m,使得
?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】在平面直角坐标系中,以原点
为极点,
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线
的极坐标方程为
,
为曲线
上的动点,
与
轴、
轴的正半轴分别交于
,
两点.
(1)求线段中点
的轨迹的参数方程;
(2)若是(1)中点
的轨迹上的动点,求
面积的最大值.
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【题目】某公交公司为了方便市民出行,科学规划车辆投放,在一个人员密集流动地段增设一个起点站,为了研究车辆发车间隔时间x与乘客等候人数y之间的关系,经过调查得到如下数据:
间隔时间x/分 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
等候人数y/人 | 23 | 25 | 26 | 29 | 28 | 31 |
调查小组先从这6组数据中选取4组数据求线性回归方程,再用剩下的2组数据进行检验.检验方法如下:先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数,再求
与实际等候人数y的差,若差值的绝对值都不超过1,则称所求方程是“恰当回归方程”.
(1)从这6组数据中随机选取4组数据,求剩下的2组数据的间隔时间相邻的概率;
(2)若选取的是中间4组数据,求y关于x的线性回归方程,并判断此方程是否是“恰当回归方程”.
附:对于一组数据,其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为:
,
.
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【题目】某公司航拍宣传画报,为了凸显公司文化,选择如图所示的边长为2百米的正三角形空地进行布置拍摄场景,在
的中点
处安装中央聚光灯,
为边
上得可以自由滑动的动点,其中
设置为普通色彩灯带(灯带长度可以自由伸缩),线段
部分需要材料
(单位:百米)装饰用以增加拍摄效果因材料
价格昂贵,所以公司要求采购
材料使用不造成浪费.
(1)当,
与
垂直时,采购部需要采购多少百米材料
?
(2)为了增加拍摄动态效果需要,现要求点在
边上滑动,且
,则购买材料
的范围是多少才能满足动态效果需要又不会造成浪费.
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【题目】椭圆:
的离心率为
,短轴端点与两焦点围成的三角形面积为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线与椭圆
交于
两点,且过点
,
为坐标原点,当△
为直角三角形,求直线
的斜率.
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【题目】如图,四棱锥的底面是菱形,
底面
,
分别是
的中点,
,
,
.
(I)证明:;
(II)求直线与平面
所成角的正弦值;
(III)在边上是否存在点
,使
与
所成角的余弦值为
,若存在,确定点
位置;若不存在,说明理由.
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【题目】某商场营销人员进行某商品的市场营销调查时发现,每回馈消费者一定的点数,该商品每天的销量就会发生一定的变化,经过试点统计得到以下表:
反馈点数t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
销量(百件)/天 | 0.5 | 0.6 | 1 | 1.4 | 1.7 |
(Ⅰ)经分析发现,可用线性回归模型拟合当地该商品销量
(千件)与返还点数
之间的相关关系.试预测若返回6个点时该商品每天的销量;
(Ⅱ)若节日期间营销部对商品进行新一轮调整.已知某地拟购买该商品的消费群体十分庞大,经营销调研机构对其中的200名消费者的返点数额的心理预期值进行了一个抽样调查,得到如下一份频数表:
返还点数预期值区间 (百分比) | [1,3) | [3,5) | [5,7) | [7,9) | [9,11) | [11,13) |
频数 | 20 | 60 | 60 | 30 | 20 | 10 |
(1)求这200位拟购买该商品的消费者对返点点数的心理预期值的样本平均数及中位数的估计值(同一区间的预期值可用该区间的中点值代替;估计值精确到0.1);
(2)将对返点点数的心理预期值在和
的消费者分别定义为“欲望紧缩型”消费者和“欲望膨胀型”消费者,现采用分层抽样的方法从位于这两个区间的30名消费者中随机抽取6名,再从这6人中随机抽取3名进行跟踪调查,设抽出的3人中 “欲望紧缩型”消费者的人数为随机变量
,求
的分布列及数学期望.
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