【题目】已知函数.
(Ⅰ)当时,求曲线
在点
处的切线方程;
(Ⅱ)求函数的单调区间;
(Ⅲ)若对任意的,都有
成立,求a的取值范围.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)当
时增区间为
当
时增区间为
,减区间为
(Ⅲ)
【解析】
试题(Ⅰ)利用导数的几何意义得到切线的斜率,进而得到切线方程(Ⅱ)首先计算函数的导数,令导数大于零可得增区间,进而得到减区间,求解时注意对参数的取值范围分情况讨论(Ⅲ)不等式恒成立问题中求参数范围的一般采用分离参数的方法,转化为求函数的最值问题
试题解析:(Ⅰ)时,
曲线在点
处的切线方程
(Ⅱ)
①当时,
恒成立,函数
的递增区间为
②当时,令
,解得
或
x | ( 0, | ( | |
f’(x) | - | + | |
f(x) | 减 | 增 |
所以函数的递增区间为
,递减区间为
(Ⅲ)对任意的,使
成立,只需任意的
,
①当时,
在
上是增函数,
所以只需
而
所以满足题意;
②当时,
,
在
上是增函数,
所以只需
而
所以满足题意;
③当时,
,
在
上是减函数,
上是增函数,
所以只需即可
而
从而不满足题意;
综合①②③实数的取值范围为
.
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【题目】已知椭圆E:的焦点在
轴上,A是E的左顶点,斜率为k (k > 0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MA⊥NA.
(Ⅰ)当t=4,时,求△AMN的面积;
(Ⅱ)当时,求k的取值范围.
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【题目】下列有关命题的说法正确的是( )
A. ,使得
成立.
B. 命题:任意
,都有
,则
:存在
,使得
.
C. 命题“若且
,则
且
”的逆命题为真命题.
D. 若数列是等比数列,
则
是
的必要不充分条件.
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【题目】已知点,
的两顶点
,且点
满足
(1)求动点的轨迹方程;
(2)设,求动点
的轨迹方程;
(3)过点的动直线
与曲线
交于不同两点
,过点
作
轴垂线
,试判断直线
与直线
的交点是否恒在一条定直线上?若是,求该定直线的方程,否则,说明理由.
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【题目】某老师是省级课题组的成员,主要研究课堂教学目标达成度,为方便研究,从实验班中随机抽取30次的随堂测试成绩进行数据分析.已知学生甲的30次随堂测试成绩如下(满分为100分):
(1)把学生甲的成绩按,
,
,
,
,
分成6组,列出频率分布表,并画出频率分布直方图:
(2)为更好的分析学生甲存在的问题,从随堂测试成绩50分以下(不包括50分)的试卷中随机抽取3份进行分析,求恰有2份成绩在内的概率.
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【题目】某医院用光电比色计检查尿汞时,得尿汞含量(毫克/升)与消光系数如下表:
尿汞含量 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
消光系数 | 64 | 138 | 205 | 285 | 360 |
(1)作散点图;
(2)如果与
之间具有线性相关关系,求回归线直线方程;
(3)估计尿汞含量为9毫克/升时消光系数.
,
.
参考数据:,
.
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