【题目】设是定义在
上的函数,若存在
,使得
在
上单调递增,在
上单调递减,则称
为
上的单峰函数,
称为峰点,包含峰点的区间称为含峰区间;
(1)判断下列函数:①,②
,哪些是“
上的单峰函数”?若是,指出峰点,若不是,说明理由;
(2)若函数(
)是
上的单峰函数,求实数a的取值范围;
(3)设是
上的单峰函数,若m,
),
,且
,求证:
为
的含峰区间.
【答案】(1)见解析;(2);(3)见解析.
【解析】
(1)依次判断各函数在上是否存在极大值点即可得出结论;
(2)求出的极大值点,令极大值点在区间
上即可;
(3)利用的单调性得出
的峰点在区间
上即可.
(1)①,令
得
,
当时,
,当
时,
,
∴在
上单调递增,在
上单调递减,
∴是
上的单峰函数,峰点为
;
②当时,
.
∴在
上单调递减,在
上单调递增,
∴不是
上的单峰函数;
(2),令
得
,
当时,
,当
时,
,
当时,
,
∴是
的极大值点,
∵函数是
上的单峰函数,
∴,解得:
.
(3)证明:∵是
上的单峰函数,
∴存在,使得
在
上单调递增,在
上单调递减,
假设,则
在
上是增函数,
∴,与
矛盾;
∴假设错误,故,
∴在
上单调递增,在
上单调递减,
∴为
的含峰区间.
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【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为
,离心率为
,
为椭圆上一动点(异于左右顶点),
面积的最大值为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线与椭圆
相交于点
两点,问
轴上是否存在点
,使得
是以
为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,求点
的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】对于函数,若存在正常数
,使得对任意的
,都有
成立,我们称函数
为“
同比不减函数”.
(1)求证:对任意正常数,
都不是“
同比不减函数”;
(2)若函数是“
同比不减函数”,求
的取值范围;
(3)是否存在正常数,使得函数
为“
同比不减函数”,若存在,求
的取值范围;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知曲线,直线
经过点
与
相交于
、
两点.
(1)若且
,求证:
必为
的焦点;
(2)设,若点
在
上,且
的最大值为
,求
的值;
(3)设为坐标原点,若
,直线
的一个法向量为
,求
面积的最大值.
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【题目】现有10个不同的产品,其中4个次品,6个正品.现每次取其中一个进行测试,直到4个次品全测完为止,若最后一个次品恰好在第五次测试时被发现,则该情况出现的概率是_______.
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【题目】随着金融市场的发展,越来越多人选择投资“黄金”作为理财的手段,下面将A市把黄金作为理财产品的投资人的年龄情况统计如下图所示.
(1)求图中a的值;
(2)求把黄金作为理财产品的投资者的年龄的中位数以及平均数;(结果用小数表示,小数点后保留两位有效数字)
(3)以频率估计概率,现从所有投资者中随机抽取4人,记年龄在的人数为X,求X的分布列以及数学期望
.
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【题目】 已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|.
(1)当a=-3时,求不等式f(x)≥3的解集;
(2)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求a的取值范围.
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