【题目】如图,在四棱锥中,
底面
,
,
,
,
.
(1)求证:;
(2)若,求平面
和平面
所成的角(锐角)的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2)
【解析】
(1)取的中点
,连接
,根据线面垂直的判定定理,证明
平面
,进而可得线线垂直;
(2)以为坐标原点,分别以
,
,
所在直线为
轴,
轴,
轴建立空间直角坐标系
,设
,根据题中条件,分别求出两平面的法向量,求出两向量夹角的余弦值,即可得出结果.
(1)证明:取的中点
,连接
,
因为,所以
,
又因为,所以四边形
是平行四边形.
因为所以四边形
是矩形.
所以.
又
所以.
所以是直角三角形,即
.
又底面
,
底面
,
所以.
又平面
,
平面
,且
.
所以平面
.
又平面
,
所以.
(2)如图,以为坐标原点,分别以
,
,
所在直线为
轴,
轴,
轴建立空间直角坐标系
,
设,则
,
由(1)知,
,
.
,
所以.
所以
所以.
设平面的法向量为
,则
所以,即
,
取,则
,
,
所以平面的一个法向量为
.
又平面的一个法向量为
所以
所以平面和平面
所成的角(锐角)的余弦值为
.
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【题目】已知离心率为的椭圆
的左顶点为A,且椭圆E经过
与坐标轴不垂直的直线l与椭圆E交于C,D两点,且直线AC和直线AD的斜率之积为
.
(I)求椭圆E的标准方程;
(Ⅱ)求证:直线l过定点.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】对于函数,若存在正常数
,使得对任意的
,都有
成立,我们称函数
为“
同比不减函数”.
(1)求证:对任意正常数,
都不是“
同比不减函数”;
(2)若函数是“
同比不减函数”,求
的取值范围;
(3)是否存在正常数,使得函数
为“
同比不减函数”,若存在,求
的取值范围;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】现有10个不同的产品,其中4个次品,6个正品.现每次取其中一个进行测试,直到4个次品全测完为止,若最后一个次品恰好在第五次测试时被发现,则该情况出现的概率是_______.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】随着金融市场的发展,越来越多人选择投资“黄金”作为理财的手段,下面将A市把黄金作为理财产品的投资人的年龄情况统计如下图所示.
(1)求图中a的值;
(2)求把黄金作为理财产品的投资者的年龄的中位数以及平均数;(结果用小数表示,小数点后保留两位有效数字)
(3)以频率估计概率,现从所有投资者中随机抽取4人,记年龄在的人数为X,求X的分布列以及数学期望
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,有一块平行四边形绿地,经测量
百米,
百米,
,拟过线段
上一点
设计一条直路
(点
在四边形
的边上,不计路的宽度),
将绿地分成两部分,且右边面积是左边面积的3倍,设
百米,
百米.
(1)当点与点
重合时,试确定点
的位置;
(2)试求的值,使路
的长度
最短.
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【题目】我市为改善空气环境质量,控制大气污染,政府相应出台了多项改善环境的措施.其中一项是为了减少燃油汽车对大气环境污染.从2018年起大力推广使用新能源汽车,鼓励市民如果需要购车,可优先考虑选用新能源汽车.政府对购买使用新能源汽车进行购物补贴,同时为了地方经济发展,对购买本市企业生产的新能源汽车比购买外地企业生产的新能源汽车补贴高.所以市民对购买使用本市企业生产的新能源汽车的满意度也相应有所提高.有关部门随机抽取本市本年度内购买新能源汽车的户,其中有
户购买使用本市企业生产的新能源汽车,对购买使用新能源汽车的满意度进行调研,满意度以打分的形式进行.满分
分,将分数按照
分成5组,得如下频率分布直方图.
(1)若本次随机抽取的样本数据中购买使用本市企业生产的新能源汽车的用户中有户满意度得分不少于
分,把得分不少于
分为满意.根据提供的条件数据,完成下面的列联表.
满意 | 不满意 | 总计 | |
购本市企业生产的新能源汽车户数 | |||
购外地企业生产的新能源汽车户数 | |||
总计 |
并判断是否有的把握认为购买使用新能源汽车的满意度与产地有关?
(2)以频率作为概率,政府对购买使用新能源汽车的补贴标准是:购买本市企业生产的每台补贴万元,购买外地企业生产的每台补贴
万元.但本市本年度所有购买新能源汽车的补贴每台的期望值不超过
万元.则购买外地产的新能源汽车每台最多补贴多少万元?
附:,其中
.
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【题目】关于函数,给出以下四个命题:(1)当
时,
单调递减且没有最值;(2)方程
一定有实数解;(3)如果方程
(
为常数)有解,则解得个数一定是偶数;(4)
是偶函数且有最小值.其中假命题的序号是____________.
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