【题目】已知离心率为的椭圆
的左顶点为A,且椭圆E经过
与坐标轴不垂直的直线l与椭圆E交于C,D两点,且直线AC和直线AD的斜率之积为
.
(I)求椭圆E的标准方程;
(Ⅱ)求证:直线l过定点.
【答案】(I);(II)证明见解析.
【解析】
(Ⅰ)根据离心率,可得的关系,代入解析式,代入
的坐标,即可求得
,进而得椭圆的标准方程.
(Ⅱ)设出直线的方程
,将直线方程与椭圆方程联立,根据有两个不同的交点可知
,利用韦达定理表示出
,由直线AC和直线AD的斜率之积为
可得关于
和
的方程,即可求得
和
的关系,代入直线方程即可求得所过定点的坐标;也可将方程设为
,将直线方程与椭圆方程联立,根据有两个不同的交点可知
,利用韦达定理表示出
,由直线AC和直线AD的斜率之积为
可得关于
和
的方程,化简求得
的值,即可求得所过定点的坐标.
(I)
又椭圆E经过点
椭圆E的标准方程为
(II)方法一:的方程为
,
设,
联立方程组,
化简得,
由解得
,
且.
,
,
化简可得:
或
(舍),满足
直线l的方程为
,
直线l经过定点
方法二:设l的方程为,
设,
联立方程组,
化简得,
解得:
,
且
,
,
化简可得:
或者
(舍)满足
直线l经过定点
.
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【题目】已知有穷数列共有
项
,且
.
(1)若,
,
,试写出一个满足条件的数列
;
(2)若,
,求证:数列
为递增数列的充要条件是
;
(3)若,则
所有可能的取值共有多少个?请说明理由.
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【题目】已知四边形为矩形,
,
为
的中点,将
沿
折起,得到四棱锥
,设
的中点为
,在翻折过程中,得到如下有三个命题:
①平面
,且
的长度为定值
;
②三棱锥的最大体积为
;
③在翻折过程中,存在某个位置,使得.
其中正确命题的序号为__________.(写出所有正确结论的序号)
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【题目】“剑桥学派”创始人之一数学家哈代说过:“数学家的造型,同画家和诗人一样,也应当是美丽的”;古希腊数学家毕达哥拉斯创造的“黄金分割”给我们的生活处处带来美;我国古代数学家赵爽创造了优美“弦图”.“弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形,如果小正方形的面积为1,大正方形的面积为25,直角三角形中较小的锐角为,则
等于( )
A.B.
C.
D.
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【题目】高三学生为了迎接高考,要经常进行模拟考试,锻炼应试能力,某学生从升入高三到高考要参加10次模拟考试,下面是高三第一学期某学生参加5次模拟考试的数学成绩表:
模拟考试第x次 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
考试成绩y分 | 90 | 100 | 105 | 105 | 100 |
(1)已知该考生的模拟考试成绩y与模拟考试的次数x满足回归直线方程,若高考看作第11次模拟考试,试估计该考生的高考数学成绩;
(2)把这5次模拟考试的数学成绩单放在5个相同的信封中,从中随机抽取3份试卷的成绩单进行研究,设抽取考试成绩不等于平均值的个数为
,求出
的分布列与数学期望.
参考公式:.
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【题目】已知等比数列的前n项和为
,且当
时,
是
与2m的等差中项
为实数
.
(1)求m的值及数列的通项公式;
(2)令,是否存在正整数k,使得
对任意正整数n均成立?若存在,求出k的最大值;若不存在,说明理由.
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【题目】已知函数的周期为
,图象的一个对称中心为
.将函数
图象上所有点的横坐标伸长到原来的
倍(纵坐标不变),再将所得到的图象向右平移
个单位长度后得到函数
的图象.
(1)求函数与
的解析式;
(2)(理)求证:存在,使得
,
,
能按照某种顺序成等差数列.
(3)(文)定义:当函数取得最值时,函数图像上对应的点称为函数的最值点,如果函数的图像上至少有一个最大值点和一个最小值点在圆
的内部或圆周上,求
的取值范围.
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