【题目】已知有穷数列共有
项
,且
.
(1)若,
,
,试写出一个满足条件的数列
;
(2)若,
,求证:数列
为递增数列的充要条件是
;
(3)若,则
所有可能的取值共有多少个?请说明理由.
【答案】(1)、
、
、
、
或
、
、
、
、
;(2)证明见解析;(3)
.
【解析】
(1)有穷数列共有
项
,且
,
,
,
,由此能写出满足条件的数列
;
(2)若数列为递增数列,由题意得
,
,
,
,由此能推导出
,由题意得
,
,
,推导出
,
,
,
,由
,推导出
,
,
,从而数列
是递增数列,由此能证明数列
为递增数列的充要条件为
;
(3)由题意得,
,
,
,推导出
的所有可能值与
最大值的差必为偶数,用数学归纳法证明
可以取到
与
之间相差
的所有整数,由此能求出
所有可能取值的个数.
(1)有穷数列共有
项
,且
,
,
,
,
则满足条件的数列有:
、
、
、
、
或
、
、
、
、
;
(2)①充分性:若数列为递增数列,由题意得:
,
,
,
,全加得
,
;
②必要性:由题意,
,
,
,
,
,
,
上述不等式全部相加得,
,
,所以,不等式
,
,
,
均取等号,
所以,,
,
,则数列
为单调递增数列.
综上所述,数列为递增数列的充要条件是
;
(3)由题意得,
,
,
,
假设,其中
,
,
则,
则中有
项
、
、
、
、
取负值,
则有,(*),
的所有可能值与
的差必为偶数,
下面利用数学归纳法证明可以取到
与
之间相差
的所有整数,
由(*)知,还要从、
、
、
、
中任取一项或若干项相加,可以得到从
到
的所有整数值即可.
①当时,显然成立;
②当时,从
、
中任取一项或两项相加,可以得到从
、
、
中任取一项或若干项相加,可以得到从
到
的所有整数,结论成立;
③假设当时,结论成立,即从
、
、
、
、
中任取一项或若干项相加,可以得到从
到
的所有整数值.
则当时,由假设,从
、
、
、
、
中任取一项或若干项相加,可以得到从
到
的所有整数值,
用取代
、
、
、
、
中的
,可得
,
用取代
、
、
、
、
中的
,可得
,
用取代
、
、
、
、
中的
,可得
,
将、
、
、
、
、
全部相加,可得
,故命题成立.
因此,所有可能的取值共有
个.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某种零件的质量指标值为整数,指标值为8时称为合格品,指标值为7或者9时称为准合格品,指标值为6或10时称为废品,某单位拥有一台制造该零件的机器,为了了解机器性能,随机抽取了该机器制造的100个零件,不同的质量指标值对应的零件个数如下表所示;
质量指标值 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
零件个数 | 6 | 18 | 60 | 12 | 4 |
使用该机器制造的一个零件成本为5元,合格品可以以每个元的价格出售给批发商,准合格品与废品无法岀售.
(1)估计该机器制造零件的质量指标值的平均数;
(2)若该单位接到一张订单,需要该零件2100个,为使此次交易获利达到1400元,估计的最小值;
(3)该单位引进了一台加工设备,每个零件花费2元可以被加工一次,加工结果会等可能出现以下三种情况:①质量指标值增加1,②质量指标值不变,③质量指标值减少1.已知每个零件最多可被加工一次,且该单位计划将所有准合格品逐一加工,在(2)的条件下,估计的最小值(精确到0.01) .
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知双曲线的左右顶点分别为
.直线
和两条渐近线交于点
,点
在第一象限且
,
是双曲线上的任意一点.
(1)求双曲线的标准方程;
(2)是否存在点P使得为直角三角形?若存在,求出点P的个数;
(3)直线与直线
分别交于点
,证明:以
为直径的圆必过定点.
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【题目】已知函数.
(1)求函数在
上的单调递增区间;
(2)将函数的图象向左平移
个单位长度,再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的
倍(纵坐标不变),得到函数
的图象.求证:存在无穷多个互不相同的整数
,使得
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数),以坐标原点
为极点,以
轴正半轴为极轴,建立极坐标系,直线
的极坐标方程为
.
(1)求的普通方程和
的直角坐标方程;
(2)直线与
轴的交点为
,经过点
的直线
与曲线
交于
两点,若
,求直线
的倾斜角.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】正方体的棱长为2,动点
在对角线
上,过点
作垂直于
的平面
,记平面
截正方体得到的截面多边形(含三角形)的周长为
,设
.
(1)下列说法中,正确的编号为__________.
①截面多边形可能为四边形;②;③函数
的图象关于
对称.
(2)当时,三棱锥
的外接球的表面积为__________.
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【题目】已知离心率为的椭圆
的左顶点为A,且椭圆E经过
与坐标轴不垂直的直线l与椭圆E交于C,D两点,且直线AC和直线AD的斜率之积为
.
(I)求椭圆E的标准方程;
(Ⅱ)求证:直线l过定点.
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