【题目】正方体的棱长为2,动点
在对角线
上,过点
作垂直于
的平面
,记平面
截正方体得到的截面多边形(含三角形)的周长为
,设
.
(1)下列说法中,正确的编号为__________.
①截面多边形可能为四边形;②;③函数
的图象关于
对称.
(2)当时,三棱锥
的外接球的表面积为__________.
【答案】②③ 9π
【解析】
(1)先找到两个与垂直的平面作为辅助平面,从而确定这两个平面之间的截面为六边形,从而判断①错误;由正方体的对称性判断③;由等体积法判断②;
(2)找出该三棱锥外接球的半径,由球的表面积公式计算即可.
(1)连接,
以点D为坐标原点,分别以
为
轴建立如下图所示的空间直角坐标系
,
所以,
面
,
即面
同理可证:面
所以面面
,如下图所示,夹在面
和面
之间并且与这两个平面平行的截面为六边形
故截面只能为三角形和六边形,故①错误;
由正方体的对称性,可得函数的图像关于
对称,故③正确;
取的中点分别为
,连接
,如下图所示
,即此时
对应的周长为
,即
,故②正确;
(2)当时,此时点P在线段
的中点,连接
交于点H
则,
,则
所以 ,同理可证:
面
,
,所以
面
取PH的中点为O, ,则三棱锥
的外接球的球心为O,半径为
,则三棱锥
的外接球的表面积为
故答案为:(1)②③;(2)
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【题目】已知有穷数列共有
项
,且
.
(1)若,
,
,试写出一个满足条件的数列
;
(2)若,
,求证:数列
为递增数列的充要条件是
;
(3)若,则
所有可能的取值共有多少个?请说明理由.
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【题目】设集合由满足下列两个条件的数列
构成:①
②存在实数
使
对任意正整数
都成立.
(1)现在给出只有5项的有限数列其中
;
试判断数列
是否为集合
的元素;
(2)数列的前
项和为
且对任意正整数
点
在直线
上,证明:数列
并写出实数
的取值范围;
(3)设数列且对满足条件②中的实数
的最小值
都有
求证:数列
一定是单调递增数列.
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【题目】电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图:
非体育迷 | 体育迷 | 合计 | |
男 | |||
女 | 10 | 55 | |
合计 |
将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.
(1)根据已知条件完成上面的2×2列联表,若按95%的可靠性要求,并据此资料,你是否认为“体育迷”与性别有关?
(2)现在从该地区非体育迷的电视观众中,采用分层抽样方法选取5名观众,求从这5名观众选取两人进行访谈,被抽取的2名观众中至少有一名女生的概率.
附:
P(K2≥k) | 0.05 | 0.01 |
k | 3.841 | 6.635 |
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【题目】已知四边形为矩形,
,
为
的中点,将
沿
折起,得到四棱锥
,设
的中点为
,在翻折过程中,得到如下有三个命题:
①平面
,且
的长度为定值
;
②三棱锥的最大体积为
;
③在翻折过程中,存在某个位置,使得.
其中正确命题的序号为__________.(写出所有正确结论的序号)
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【题目】已知函数的周期为
,图象的一个对称中心为
.将函数
图象上所有点的横坐标伸长到原来的
倍(纵坐标不变),再将所得到的图象向右平移
个单位长度后得到函数
的图象.
(1)求函数与
的解析式;
(2)(理)求证:存在,使得
,
,
能按照某种顺序成等差数列.
(3)(文)定义:当函数取得最值时,函数图像上对应的点称为函数的最值点,如果函数的图像上至少有一个最大值点和一个最小值点在圆
的内部或圆周上,求
的取值范围.
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