【题目】已知双曲线的左右顶点分别为
.直线
和两条渐近线交于点
,点
在第一象限且
,
是双曲线上的任意一点.
(1)求双曲线的标准方程;
(2)是否存在点P使得为直角三角形?若存在,求出点P的个数;
(3)直线与直线
分别交于点
,证明:以
为直径的圆必过定点.
【答案】(1) ;(2)4个;(3)证明过程见解析.
【解析】
(1)根据,可知
,根据题意求出点
的坐标,根据
,求出
,这样可求出双曲线的标准方程;
(2)分类讨论以三点为直角顶点时能否构成直角三角形,最后确定点P的个数;
(3)设出点P的坐标,根据三点共线,结合斜率公式可以求出点的坐标,进而可求出以
为直径的圆,最后根据圆的标准方程,可以判断出该圆所过的定点.
(1)因为,所以
,双曲线的渐近线方程为:
,由题意可知:
而
,所以
,因此双曲线的标准方程为:
;
(2)因为直线的斜率为
,所以与直线
垂直的直线的斜率为
,设
点的坐标为:
,则有
.
当时,所以
且
,解得
或
此时存在2个
点;
当时,所以
且
,
,解得
或
,此时存在2个
点;
当时,此时
点是以线段
为直径圆上,圆的方程为:
,与双曲线方程联立,无实数解,
综上所述:点P的个数为4个;
(3)设点的坐标为
,
.
因为三点共线,所以直线
的斜率相等,即
因为三点共线,所以直线
的斜率相等,即
, 所以
的中点坐标为:
,所以以
为直径的圆的方程为:
,即
令或
,因此该圆恒过
两点.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知平面直角坐标系,以
为极点,
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的参数方程为
(
为参数),点
时曲线
上两点,点
的极坐标分别为
,
.
(1)写出曲线的普通方程和极坐标方程;
(2)求的值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知数列的首项
,对任意的
,都有
,数列
是公比不为
的等比数列.
(1)求实数的值;
(2)设数列
的前
项和为
,求所有正整数
的值,使得
恰好为数列
中的项.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数,其中
为常数,且
.
(1)若是奇函数,求
的取值集合
;
(2)当时,设
的反函数
,且
的图象与
的图象关于
对称,求
的取值集合
;
(3)对于问题(1)(2)中的、
,当
时,不等式
恒成立,求
的取值范围.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知有穷数列共有
项
,且
.
(1)若,
,
,试写出一个满足条件的数列
;
(2)若,
,求证:数列
为递增数列的充要条件是
;
(3)若,则
所有可能的取值共有多少个?请说明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】定义:直线关于圆的圆心距单位圆心到直线的距离与圆的半径之比.
(1)设圆,求过点
的直线关于圆
的圆心距单位
的直线方程.
(2)若圆与
轴相切于点
,且直线
关于圆
的圆心距单位
,求此圆
的方程.
(3)是否存在点,使过点
的任意两条互相垂直的直线分别关于相应两圆
与
的圆心距单位始终相等?若存在,求出相应的
点坐标;若不存在,请说明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设集合由满足下列两个条件的数列
构成:①
②存在实数
使
对任意正整数
都成立.
(1)现在给出只有5项的有限数列其中
;
试判断数列
是否为集合
的元素;
(2)数列的前
项和为
且对任意正整数
点
在直线
上,证明:数列
并写出实数
的取值范围;
(3)设数列且对满足条件②中的实数
的最小值
都有
求证:数列
一定是单调递增数列.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】“剑桥学派”创始人之一数学家哈代说过:“数学家的造型,同画家和诗人一样,也应当是美丽的”;古希腊数学家毕达哥拉斯创造的“黄金分割”给我们的生活处处带来美;我国古代数学家赵爽创造了优美“弦图”.“弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形,如果小正方形的面积为1,大正方形的面积为25,直角三角形中较小的锐角为,则
等于( )
A.B.
C.
D.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com