【题目】已知函数f(x),g(x)满足关系g(x)=f(x)f(x+α),其中α是常数.
(1)设f(x)=cosx+sinx,,求g(x)的解析式;
(2)设计一个函数f(x)及一个α的值,使得;
(3)当f(x)=|sinx|+cosx,时,存在x1,x2∈R,对任意x∈R,g(x1)≤g(x)≤g(x2)恒成立,求|x1-x2|的最小值.
【答案】(1) (2)f(x)=2cosx,α=-
(3)
【解析】
(1)求出f(x+α),代入g(x)=f(x)f(x+α)化简得出.
(2)对g(x)化简得=4cosxcos(x-
),故f(x)=2cosx,α=-
.
(3)求出g(x)的解析式,由题意得g(x1)为最小值,g(x2)为最大值,求出x1,x2,从而得到|x1-x2|的最小值.
(1)∵f(x)=cosx+sinx,∴f(x+α)=cos(x+
)+sin(x+
)=cosx-sinx;
∴g(x)=(cosx+sinx)(cosx-sinx)=cos2x-sin2x=cos2x.
(2)∵=4cosxcos(x-
),
∴f(x)=2cosx,α=-.
(3)∵f(x)=|sinx|+cosx,∴g(x)=f(x)f(x+α)=(|sinx|+cosx)(|cosx|-sinx)
=,
因为存在x1,x2∈R,对任意x∈R,g(x1)≤g(x)≤g(x2)恒成立,
所以当x1=2kπ+π或时,g(x)≥g(x1)=-1
当时,g(x)≤g(x2)=2
所以
或
所以|.
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【题目】在斜三棱柱A1B1C1-ABC中,底面是等腰三角形,AB=AC,侧面BB1C1C⊥底面ABC.
(1)若D是BC的中点,求证:AD⊥CC1;
(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M,若AM=MA1,求证:截面MBC1⊥侧面BB1C1C.
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【题目】已知椭圆:
的右焦点为
,不垂直
轴且不过
点的直线
与椭圆
相交于
两点.
(1)若直线经过点
,则直线
、
的斜率之和是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由;
(2)如果,原点到直线
的距离为
,求
的取值范围.
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【题目】函数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性、对称性等,请选择适当的探究顺序,研究函数的性质,并在此基础上填写下表,作出f(x)在区间[-π,2π]上的图象.
性质 | 理由 | 结论 | 得分 |
定义域 | |||
值域 | |||
奇偶性 | |||
周期性 | |||
单调性 | |||
对称性 | |||
作图 |
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【题目】已知函数y=f(x)是R上的偶函数,且在区间(﹣∞,0)是单调递增的,若S1= x2dx,S2=
dx,S3=
exdx,则f(S1),f(S2),f(S3)的大小关系是 .
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【题目】如图在长为10千米的河流的一侧有一条观光带,观光带的前一部分为曲线段
,设曲线段
为函数
(单位:千米)的图象,且图象的最高点为
;观光带的后一部分为线段
.
(1)求函数为曲线段的函数
的解析式;
(2)若计划在河流和观光带
之间新建一个如图所示的矩形绿化带
,绿化带仅由线段
构成,其中点
在线段
上.当
长为多少时,绿化带的总长度最长?
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【题目】设F1 , F2分别是C: (a>b>0)的左,右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂直,直线MF1与C的另一个交点为N.
(1)若直线MN的斜率为 ,求C的离心率;
(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.
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