Question

6．已知k≥-1，实数x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x+y≤4}\\{3x-2y≥6}\\{y≥k}\end{array}\right.$，且$\frac{y+1}{x}$的最小值为k，则k的值为（　　）

• A． $\frac{2-\sqrt{2}}{5}$
• B． $\frac{2±\sqrt{2}}{5}$
• C． $\frac{3-\sqrt{5}}{2}$
• D． $\frac{3±\sqrt{5}}{2}$

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用直线斜率公式，结合数形结合进行求解即可．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：
$\frac{y+1}{x}$的几何意义是区域内的点到定点D（0，-1）的斜率，
由图象知AD的斜率最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k}\\{x+y=4}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=4-k}\\{y=k}\end{array}\right.$，得A（4-k，k），
则AD的斜率k=$\frac{k+1}{4-k}$，整理得k²-3k+1=0，
得k=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$或$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$（舍），
故选：C

点评 本题主要考查线性规划的应用，结合直线的斜率公式，利用数形结合是解决本题的关键．