Question

已知函数f(x)=-x2-2x，g(x)=

x+ 1 4x ，x＞0 x+1，x≤0

，
（1）g[f（1）]=

 

；
（2）若方程g[f（x）]-a=0的实数根的个数有4个，则a的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：（1）由题意先求出f（1）=-3，再根据g（x）的解析式代入g（x）=x+1求值；
（2）由g（x）的解析式知，需要求出f（x）＞0和f（x）≤0的解集，再代入对应的解析式，由题意还需要求出函数g[f（x）]的值域和图象，故用换元法设t=-x²-2x，并且求出对应t的值域，再代入g[f（x）]的解析式，画出函数g（t）的图象，再由图象求出a的范围．

解答：解：（1）∵f(x)=-x2-2x，g(x)=

x+ 1 4x ，x＞0 x+1，x≤0

，
∴f（1）=-1-2=-3，
即g[f（1）]=-3+1=-2．
（2）由f（x）=-x²-2x＞0解得，-2＜x＜0，
由f（x）=-x²-2x≤0解得，x≥0或x≤-2，
则g[f（x）]=

(-x2-2x)+ 1 4(-x2-2x)  -2＜x＜0 -x2-2x+1                   x≥0或x≤-2

，
设t=-x²-2x=-（x+1）²+1，当-2＜x＜0时，则t∈（0，1]，
当x≥0或x≤-2时，t∈（-∞，0]，
∴函数g[f（x）]变成g(t)=

t+ 1 4t ，0＜t≤1 t+1，t≤0

，作出此函数的图象：
由图象知，方程g[f（x）]-a=0的实数根的个数有4个时，
即y=a的图象与函数图象交点个数有2个，
因当t=1时，g（t）=

5

4

，当t=

1

2

时，g（t）=1，
故a的取值范围是[1，

5

4

]．
故答案为：（1）-2；（2）[1，

5

4

]

点评：本题考查了分段函数求值，含有多层的求值问题要按“由里到外”的顺序逐层求值，一定要注意自变量的值所在范围，代入相应的解析式求解；对于第二问需要用多次换元，多次代入解析式，多次求出对应函数的值域，再画出函数的图象，根据图象求解，思维含量大，难度大，可作为选做题．