Question

已知动点P与双曲线x2-

y2

3

=1．的两焦点F₁，F₂的距离之和为大于4的定值，且|

PF1

|•|

PF2

|的最大值为9．
（1）求动点P的轨迹E的方程；
（2）若A，B是曲线E上相异两点，点M（0，2）满足

AM

=λ

MB

，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先由双曲线的方程得到两焦点，设已知定值为2a，则|

PF

1|+|

PF2

|=2a，因此，动点P的轨迹E是以F₁（-2，0），F₂（2，0）为焦点，长轴长为2a的椭圆．利用待定系数法结合基本不等式即可求得椭圆的方程；
（2）设所求直线l的方程：y=kx-2，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量关系式即可求得实数λ的取值范围
，从而解决问题．

解答：解：（1）双曲线x2-

y2

3

=1的焦点F₁（-2，0）．
设已知定值为2a，则|

PF

1|+|

PF2

|=2a，因此，动点P的轨迹E是以F₁（-2，0），F₂（2，0）为焦点，长轴长为2a的椭圆．
设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．（2分）
∵|

PF 1

|•|

PF 2

|≤(

| PF 1 |+ PF 2

2

) 2=a2，
∴a²=9，b²=a²-c²=5，
∴动点P的轨迹E的方程

x2

9

+

y2

5

=1；
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则由点M（0，2）满足

AM

=λ

MB

，得：

-x 1=λx   2  -2-y 1=λ(y 2+2)

  且M，A，B三点共线，设直线为l，
当直线l的斜率存在时，设l：y=kx-2，则将直线的方程代入椭圆的方程，化简得：
（5+9k²）x²-36kx-9=0，根据根与系数的关系得：
  x₁+x₂=

36k

5+9k  2

，x₁x₂=

-9

5+9k 2

，
将x₁=-λx₂，代入，消去x₂，得：

(1-λ) 2

λ

=

144k 2

5+9k 2

，
化得：

(1-λ) 2

λ

=

144k 2

5+9k 2

=

144

5 k 2 +9

∴0＜

(1-λ) 2

λ

＜ 16，
解之得：实数λ的取值范围为[9-4

5

，9+4

5

]．

点评：本小题主要考查圆锥曲线的轨迹问题、直线与圆锥曲线的综合问题等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．