Question

已知动点P的轨迹方程为：

x2

4

-

y2

5

=1（x＞2），O是坐标原点．
①若直线x-my-3=0截动点P的轨迹所得弦长为5，求实数m的值；
②设过P的轨迹上的点P的直线与该双曲线的两渐近线分别交于点P₁、P₂，且点P分有向线段

P1P2

所成的比为λ（λ＞0），当λ∈[

3

4

，

3

2

]时，求|

OP1

|•|

OP2

|的最值．

Answer 1

分析：①先确定直线与双曲线的右支相交，设两个交点坐标分别为D（x_D，y_D）、E（x_E，y_E），由双曲线的第二定义，求出|DF|、|EF|，从而可得|DE|，利用直线x-my-3=0截动点P的轨迹所得弦长为5，即可求得m的值；
②先确定P的坐标，进而可表示|

OP1

|•|

OP2

|，利用基本不等式及端点的函数值，即可求得|

OP1

|•|

OP2

|的最值．

解答：解：①由动点P的轨迹方程为：

x2

4

-

y2

5

=1（x＞2），∴直线x-my-3=0恒过双曲线的右焦点F（3，0），于是直线与双曲线的右支相交，
设两个交点坐标分别为D（x_D，y_D）、E（x_E，y_E），
由双曲线的第二定义得

|DF|

|xD- a2 c |

=e，∴|DF|=ex_D-a
同理|EF|=ex_E-a，∴|DE|=e（x_D+x_E）-2a
∵a=2，c=3，∴e=

3

2

，∴|DE|=

3

2

（x_D+x_E）-4
∵若直线x-my-3=0截动点P的轨迹所得弦长为5
∴

3

2

（x_D+x_E）-4=5
∴x_D+x_E=6
由直线过右焦点F（3，0），知x_D=x_E=3，此时直线垂直于x轴，∴m=0．
②设P（x，y），P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），则

y1= 5 2 x1 y2=- 5 2 x2

∴x=

x1+λx2

1+λ

，y=

y1+λy2

1+λ

=

5

2

×

x1-λx2

1+λ

∵点P（x，y）在双曲线：

x2

4

-

y2

5

=1上
∴

(x1+λx2)2

4(1+λ)2

-

5

4

×

(x1-λx2)2

5(1+λ)2

=1，化简可得x1x2=

(1+λ)2

λ

∵|

OP1

|=

3

2

|x1|，|

OP2

|=

3

2

|x2|
∴|

OP1

|•|

OP2

|=

9

4

|x1x2|=

9

4

×

(1+λ)2

λ

令u=

(1+λ)2

λ

=λ+

1

λ

+2
∵λ∈[

3

4

，

3

2

]，∴λ=1时，λ+

1

λ

+2取得最小值4
∵λ=

3

4

时，u=

49

12

，λ=

3

2

时，u=

25

6

，∴λ+

1

λ

+2的最大值为

25

6

∴|

OP1

|•|

OP2

|的最小值为9，最大值为

75

8

．

点评：本题考查直线与双曲线的位置关系的综合应用，考查化归与转化、分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．