Question

已知动点P的轨迹方程为：-=1（x＞2），O是坐标原点．
①若直线x-my-3=0截动点P的轨迹所得弦长为5，求实数m的值；
②设过P的轨迹上的点P的直线与该双曲线的两渐近线分别交于点P₁、P₂，且点P分有向线段所成的比为λ（λ＞0），当λ∈[，]时，求||•||的最值．

Answer 1

【答案】分析：①先确定直线与双曲线的右支相交，设两个交点坐标分别为D（x_D，y_D）、E（x_E，y_E），由双曲线的第二定义，求出|DF|、|EF|，从而可得|DE|，利用直线x-my-3=0截动点P的轨迹所得弦长为5，即可求得m的值；
②先确定P的坐标，进而可表示||•||，利用基本不等式及端点的函数值，即可求得||•||的最值．
解答：解：①由动点P的轨迹方程为：-=1（x＞2），∴直线x-my-3=0恒过双曲线的右焦点F（3，0），于是直线与双曲线的右支相交，
设两个交点坐标分别为D（x_D，y_D）、E（x_E，y_E），
由双曲线的第二定义得，∴|DF|=ex_D-a
同理|EF|=ex_E-a，∴|DE|=e（x_D+x_E）-2a
∵a=2，c=3，∴e=，∴|DE|=（x_D+x_E）-4
∵若直线x-my-3=0截动点P的轨迹所得弦长为5
∴（x_D+x_E）-4=5
∴x_D+x_E=6
由直线过右焦点F（3，0），知x_D=x_E=3，此时直线垂直于x轴，∴m=0．
②设P（x，y），P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），则
∴x=，y==
∵点P（x，y）在双曲线：-=1上
∴-=1，化简可得
∵=，=
∴=
令u==λ+2
∵λ∈[，]，∴λ=1时，λ+2取得最小值4
∵λ=时，u=，λ=时，u=，∴λ+2的最大值为
∴||•||的最小值为9，最大值为．
点评：本题考查直线与双曲线的位置关系的综合应用，考查化归与转化、分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．