Question

在数学研究性学习活动中，某小组要测量河对面C和D两个建筑物的距离，作图如下，所测得的数据为AB=50米，∠DAC=75°，∠CAB=45°，∠DBA=30°，∠CBD=75°，请你帮他们计算一下，河对岸建筑物C、D的距离？

Answer 1

分析：根据题设及所给的图形，可先解出AD的长度，然后解出三角形DAC的角，在这个三角形中求出DC的长度即可

解答：解：在ABD中，∴B+C=

π

3

，∵A+B+C=π，∴A=

2π

3

，所以a²=b²+c²-2bc•cosA，△ABD为为等腰三角形，
即(2

3

)2=(b+c)2-2bc-2bc•cos

2π

3

在12=16-2bc-2bc•(-

1

2

)中，∴bc=4，
∴S△ABC=

1

2

bc•sinA=

1

2

•4•

3

2

=

3

，
由于∠ACB=30°，由正弦定理可得

AC

sin105°

=

AB

sin30°

，计算得AC=25(

6

+

2

)；
在△ACD中，∠DAC=75°，AC=25(

6

+

2

)，AD=50，
根据余弦定理可得CD=

AD2+AC2-2AD•ACcos∠DAC

=

2500+2500(2+ 3 )-2×25× 6 + 2 4 ×50× 6 - 2 4

=25(

6

+

2

)
答：河对岸建筑物C、D的距离为25(

6

+

2

)米．

点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．