Question

设函数f(x)=lg(2x-3)(x-

1

2

)的定义域为集合A，函数g(x)=

-x2+4ax-3a2

（a＞0）的定义域为集合B．
（1）当a=1时，求集合A∩B；
（2）若A∩B=B，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由函数f(x)=lg(2x-3)(x-

1

2

)有意义，得A=(-∞，

1

2

)∪(

3

2

，+∞)，当a=1时，函数g(x)=

-x2+4x-3

有意义，得B={x|1≤x≤3}，由此能求出当a=1时集合A∩B．
（2）由函数g(x)=

-x2+4x-3a2

（a＞0）有意义得B=[a，3a]，由A∩B=B，知B⊆A，由此能求出实数a的取值范围．

解答：解：（1）由函数f(x)=lg(2x-3)(x-

1

2

)有意义，
得：(2x-3)(x-

1

2

)＞0，
即x＜

1

2

或x＞

3

2

，
所以A=(-∞，

1

2

)∪(

3

2

，+∞)，（3分）
当a=1时，函数g(x)=

-x2+4x-3

有意义，
得：-x²+4x-3≥0，
即x²-4x+3≤0，
∴1≤x≤3，∴B={x|1≤x≤3}，
∴A∩B=(

3

2

，3]（6分）
（2）由函数g(x)=

-x2+4x-3a2

（a＞0）有意义得-x²+4x-3a²≥0，
即（x-a）（x-3a）≤0，
∵a＞0，∴a≤x≤3a，
∴B=[a，3a]，（8分）
若A∩B=B，则B⊆A，（10分）
∴

a＞0 3a＜ 1 2

或a＞

3

2

，得0＜a＜

1

6

或a＞

3

2

，
即a∈(0，

1

6

)∪(

3

2

，+∞)（12分）

点评：本题考查集合的交集和集合的包含关系的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．