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设函数f(x)=lg(x+
x2+1
)

(1)确定函数f(x)的定义域;
(2)判断函数f(x)的奇偶性;
(3)证明函数f(x)在其定义域上是单调增函数.
分析:(1)真数恒大于0,可得定义域;
(2)利用奇偶函数的定义可作出判断;
(3)先用增函数的定义证明f(x)在[0,+∞)上递增,然后根据奇函数的性质可得结论;
解答:解:(1)由x+
x2+1
>0恒成立得函数的定义域为R; 
(2)f(x)为定义域内的奇函数,证明如下:
∵f(-x)=lg(
x2+1
-x)=lg
(
x2+1
-x)(
x2+1
+x)
x2+1+x

=lg
1
x2+1
+x
=lg(
x2+1
+x)-1=-lg(
x2+1
+x)

=-f(x),
∴f(x)为奇函数.
(3)设x1,x2∈[0,+∞)且x1<x2
则f(x1)-f(x2)=lg(
x12+1
+x1)
-lg(
x22+1
+x2)
=lg
x
2
1
+1
+x1
x
2
2
+1+x2

∵x1<x2,∴
x
2
1
+1
x
2
2
+1
,∴0<
x
2
1
+1
+x1
x
2
2
+1
+x2
<1
,∴lg
x
2
1
+1
+x1
x
2
2
+1
+x2
<0

∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),
∴f(x)在[0,+∞)上是增函数.
又∵f(x)是奇函数,∴f(x)在R上是增函数.
点评:本题考查定义域的求解、奇偶性单调性的判断证明,属基础题,定义是解决该类题目的基本方法,要熟练掌握.
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科目:高中数学 来源: 题型:

设函数f(x)=lg(2x-3)(x-
1
2
)
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-x2+4ax-3a2
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a
x2

(1)当a=0.1,求f(1000)的值.
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9
8
,求a的范围.

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现有下列命题:
①设a,b为正实数,若a2-b2=1,则a-b<1;
②已知a>2b>0,则a2+
8
b(a-2b)
的最小值为16;
③数列{n(n+4)(
2
3
)n}中的最大项是第4项

④设函数f(x)=
lg|x-1|,x≠1
0,x=1
,则关于x的方程f2(x)+2f(x)=0有4个解.
⑤若sinx+siny=
1
3
,则siny-cos2x的最大值是
4
3

其中的真命题有
①②③
①②③
.(写出所有真命题的编号)

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科目:高中数学 来源: 题型:

设函数f(x)=lg(
2
x+1
-1)
的定义域为集合A,函数g(x)=
1-a2-2ax-x2
的定义域为集合B.
(1)求证:函数f(x)的图象关于原点成中心对称.
(2)a≥2是A∩B=Φ的什么条件(充分非必要条件、必要非充分条件、充要条件、既非充分也非必要条件)?并证明你的结论.

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