解:(1)∵f(x)是定义在区间[-1,1]上的奇函数,且f(1)=1,
m、n∈[-1,1],m≠n时,有
.
∴任取x
1,x
2∈[-1,1],且x
2≥x
1,
则f(x
2)-f(x
1)=
>0,
∴f(x
2)>f(x
1),
∴函数f(x)在[-1,1]上单调递增.
∵f(x+
)+f(x-1)<0,即f(x+
)<f(1-x),
∴
,解得0≤x≤
,
∴x的取值范围为[0,
).
(2)由于f(x)为增函数,∴f(x)的最大值为f(1)=1,
∴f(x)≤t
2-2at+1对a∈[-1,1]、x∈[-1,1]恒成立,
∴t
2-2at+1≥1对任意a∈[-1,1]恒成立,
∴t
2-2at≥0对任意a∈[-1,1]恒成立,
把y=t
2-2at看作a的函数,
由a∈[-1,1],知其图象是一条线段,
∴t
2-2at≥0对任意a∈[-1,1]恒成立,
∴有
,即
,
解得t≤-2,或t=0,或t≥2.
故实数t的取值范围是{t|t≤-2,或t=0,或t≥2}.
分析:(1)先用定义判断f(x)在[-1,1]上的单调性,由函数的单调性、奇偶性可去掉不等式中的符号“f”,解出即可;
(2)对任意的x∈[-1,1]不等式恒成立,等价于f(x)
max=f(1))≤t
2-2at+1,对任意a∈[-1,1]恒成立,可看作关于a的一次函数,借助图象可得关于a的不等式组,解出即可;
点评:本题考查函数的单调性的判断,考查不等式解集的求法,考查转化思想、数形结合思想.解题时要认真审题,注意定义法、等价转化思想、构造法的合理运用