Question

【题目】已知抛物线,直线与抛物线交于为抛物线上一点.

(1)若,求

(2)已知点,过点作直线分别交曲线于,证明:在点运动过程中,直线始终过定点,并求出该定点.

Answer 1

【答案】（1）或，（2）

【解析】

（1）首先设，，联立直线与抛物线方程得到，再根据得到，利用根系关系即可求出的值.

（2）分类讨论存在和不存在的情况，设出直线，联立方程组分别求出的坐标，再求出直线，即可得到定点坐标.

（1）设，，由题知：

，，.

，.

，，

因为，所以.

即.

.

.

因为，即.

所以，即

解得或，或.

（2）当不存在时，

.

①当时，，如图所示：

，.

，，.

此时与重合，为.

②同理当时，时，

此时与重合，为.

当存在时，设在下方，在上方，如图所示：

，.

.

，.

因为，所以

，.

，.

.

，，，

：，

整理得：

即：，所以过定点.

当为时，也过定点.

综上所述：直线恒过定点.