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【题目】已知对数函数过定点(其中),函数(其中的导函数,为常数)

1)讨论的单调性;

2)若对恒成立,且)处的导数相等,求证:.

【答案】1)当时,单调递减;当单调递增,在单调递减(2)证明见解析

【解析】

(1)求出的解析式,得到,利用分类讨论法研究的单调性;

(2)根据(1)可知,得到的解析式,利用求得,结合基本不等式得到,,可换元为,最后利用导数求出的最小值即可得证.

(1)(),将定点代入解得,

所以,,

所以,(),

,时恒成立,单调递减;

,,

单调递增,单调递减;

综上所述:,单调递减;

单调递增,单调递减.

(2)因为,恒成立,

所以,

(1)知必有,

,,

,

,,,

,

,

,,

(),

上单调递增,

,.

练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

【题目】从抛物线上各点向x轴作垂线,垂线段中点的轨迹为E.

1)求曲线E的方程;

2)若直线与曲线E相交于AB两点,求证:

3)若点F为曲线E的焦点,过点的直线与曲线E交于MN两点,直线分别与曲线E交于CD两点,设直线斜率分别为,求的值.

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【题目】已知函数.

1)当时,求函数的单调区间;

2)若当时,总有,求的最大值.

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【题目】已知抛物线,直线与抛物线交于为抛物线上一点.

(1),求

(2)已知点,过点作直线分别交曲线,证明:在点运动过程中,直线始终过定点,并求出该定点.

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科目:高中数学 来源: 题型:

【题目】诚信是立身之本,道德之基,我校学生会创设了“诚信水站”,既便于学生用水,又推进诚信教育,并用“”表示每周“水站诚信度”,为了便于数据分析,以四周为一周期,如表为该水站连续十二周(共三个周期)的诚信数据统计:

第一周

第二周

第三周

第四周

第一周期

第二周期

第三周期

(Ⅰ)计算表中十二周“水站诚信度”的平均数

(Ⅱ)若定义水站诚信度高于的为“高诚信度”,以下为“一般信度”则从每个周期的前两周中随机抽取两周进行调研,计算恰有两周是“高诚信度”的概率;

(Ⅲ)已知学生会分别在第一个周期的第四周末和第二个周期的第四周末各举行了一次“以诚信为本”的主题教育活动,根据已有数据,说明两次主题教育活动的宣传效果,并根据已有数据陈述理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:

【题目】绝大部分人都有患呼吸系统疾病的经历,现在我们调查患呼吸系统疾病是否和所处环境有关.一共调查了人,患有呼吸系统疾病的人,其中人在室外工作,人在室内工作.没有患呼吸系统疾病的人,其中人在室外工作,人在室内工作.

1)现采用分层抽样从室内工作的居民中抽取一个容量为的样本,将该样本看成一个总体,从中随机的抽取两人,求两人都有呼吸系统疾病的概率.

2)你能否在犯错误率不超过的前提下认为感染呼吸系统疾病与工作场所有关;

附表:

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【题目】在平面直角坐标系xOy中,椭圆:的离心率为y轴于椭圆相交于AB两点,CD是椭圆上异于AB的任意两点,且直线ACBD相交于点M,直线ADBC相交于点N

求椭圆的方程;

求直线MN的斜率.

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【题目】某少数民族的刺绣有着悠久的历史,如图4①,②,③,④为她们刺绣最简单的四个图案,这些图案都是由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第n个图形包含f(n)个小正方形.

(1)求出f(5)的值;

(2)利用合情推理的“归纳推理思想”,归纳出f(n+1)与f(n)之间的关系式,并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式;

(3)求的值.

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【题目】某家庭记录了未使用节水龙头30天的日用水量数据(单位:)和使用了节水龙头30天的日用水量数据,得到频数分布表如下:

(一)未使用节水龙头30天的日用水量频数分布表

日用水量

频数

2

3

8

12

5

(二)使用了节水龙头30天的日用水量频数分布表

日用水量

频数

2

5

11

6

6

1)估计该家庭使用了节水龙头后,日用水量小于的概率;

2)估计该家庭使用节水龙头后,平均每天能节省多少水?(同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)

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