Question

【题目】已知函数.

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）若当时，总有，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）5.

【解析】

（1）求导，根据导数的正负即可判断函数的单调性，从而求得函数的单调区间；

（2）分离参数，构造函数，利用导数求得该函数最小值的范围，即可求得参数的范围.

（1）当时，，定义域为，，

由得，由得，

所以函数在上单调递减，在上单调递增.

即函数的单调递减区间为，单调递增区间为.

（2）由题当时，恒成立，

即在时恒成立，

即在时恒成立，

令，则，

令，

则在时恒成立.

所以在上单调递增，又知，，

所以在上存在唯一实数，满足，即，

当时，，即；

当时，，即.

所以函数在上单调递减；在上单调递增.

即.

由在时恒成立，

所以，又知，所以整数的最大值为5.